有趣的高中數學－ n 的次方 - 【無 ★ 言】雲遊到世界的另一端

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有趣的高中數學－ n 的次方

2016/09/02 00:10:32瀏覽1707｜回應6｜推薦74

問：n 是二十的倍數．n² 是某數的三次方，n³是另一數的平方．問 n 最小是多少？

答案：1000000 (1 x 10⁶)

解法：（白字，選取後可見．）

20 = 2² x 5

因 n 是二十的倍數，即 20 x a，故 n = 2² x 5 x a，則

(2² x 5 x a)² = b³
(2² x 5 x a)³ = c²

因為是求最小值，故假設

a = 2^p x 5^q，不要加入別的質因數，否則就不是最小了．則

(2² x 5 x a)² = (2² x 5 x 2^p x 5^q)² = (2⁴ x 5² x 2^2p x 5^2q) =
(2^(4+2p) x 5^(2+2q)) = b³

(2² x 5 x a)³ = (2² x 5 x 2^p x 5^q)³ = (2⁶ x 5³ x 2^3p x 5^3q) =
(2^(6+3p) x 5^(3+3q)) = c²

由上兩式得知：

(4+2p)為三的倍數，(2+2q)也是三的倍數；
(6+3p)為二的倍數，(3+3q)也是二的倍數．由此式可知 p 為偶數，q 為奇數．

既然是求 n 的最小值，p 從零開始，q 從一開始，慢慢代入計算（因為看起來很簡單，故用此笨法）．

得 p = 4，q = 5．

n = 2² x 5 x a = 2² x 5 x 2⁴ x 5⁵ = 2⁶ x 5⁶ = 10⁶．

( 知識學習｜科學百科 )