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| 2023/01/26 20:00:00瀏覽244｜回應1｜推薦7 | |
幾乎所有的流行病專家現都在玩統計，所以我們嘗試以統計學的觀點來看上述命題是否正確。
首先，假設在一個Covid-19感染率為1/1000的地區，我們有一種快篩試劑，他的靈敏度(Sensitivity)和特異度(Specificity)都是99%。阿飛覺得喉嚨癢，首次快篩為陽性，請問阿飛確診的機率是多少？
A. 99%，B. 90%，C. 49%，D. 9%
請注意，這題目可應用在任何疾病和試劑上，如癌症或肝炎，Covid-19只是一個可蹭熱度的例子。
我們所需要的參數，只有：1.疾病感染率，2.試劑靈敏度和3.試劑特異度。
意外的答案
答案是，Covid-19 確診率的機會約 9%，而非直覺中的99%！但是如果第二次測試又是陽性，確診率將變成約90%
(如無興趣，到此結束)
欲知詳情，首先，一些定義
靈敏度(Sensitivity) :阿飛確診時，試劑測出為陽性的機率(Probability)
特異度(Specificity) :阿飛沒被感染時，試劑測出陰性的機率(Probability)
以數學公式表達：
靈敏度 = P(陽性|確診)
特異度 = P(陰性|沒事) (註：1-特異度 = P(陽性|沒事) )
其中P(A|B)是條件機率，即是在B發生的情形下，A為真的機率
我們的目標，是根據前述事實，算出 P(確診|陽性)
貝氏定理介紹
條件機率：當B發生時，A(和B皆)發生的機率，記作：P(A|B)，定義如下
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) (符號 ∩ 代表”且”，也就是 and)
貝氏定理：
P(B|A) = P(B∩A) / P(A)
= P(A∩B) /P(A)
= P (A|B) * P(B) / P(A)
亦即： P(B|A) = P (A|B) * P(B) / P(A)
因靈敏度和 P(確診) 皆為已知
靈敏度 = P(陽性|確診) = P(確診|陽性) * P(陽性)/P(確診)
想知道的的P(確診|陽性) = 靈敏度 * P(確診) / P(陽性)
(靈敏度 = 0.99和 P(確診) = 0.001 皆為已知)
所以，接著就是求P(陽性)
P(陽性) = P(確診且陽性)+P(沒事且陽性(也就是誤判))
P(陽性) = P(確診 ∩ 陽性) + P(沒事 ∩ 陽性)
= P(陽性|確診)* P(確診) + P(陽性|沒事) *P(沒事)
(因為P(陽性|沒事) = 1-P(陰性|沒事)，P(沒事)= 1-P(確診)
= 靈敏度 * P(確診) + (1-P(陰性|沒事)* (1-P(確診))
= 靈敏度 * P(確診) + (1-特異度) * (1-P(確診))
(此時我們已有所有數值)
結論
P(確診|陽性) =靈敏度 * P(確診) / P(陽性)
P(陽性) = 靈敏度 * P(確診) + (1-特異度) * (1-P(確診)
代入數字
P(陽性) = 0.99 * 0.001 + 0.01* 0.999 = 0.00099 + 0.00999 約= 0.011
答案：P(確診|陽性) = 0.99 * 0.001 / 0.011 = 0.09約=9%
連續第二次陽性時，先驗 P(確診)=原先後驗的 P(確診|陽性)=0.09
P(確診|陽性) = (0.99 * 0.09) / (0.99*0.09 + 0.01*0.91) = 0.09/0.0991 約= 90%
連續第三次陽性時， P(確診|陽性) 約= 99.9%，應是確診
試問：在P(確診)=0.01的地區，第一次快篩陽，P(確診|陽性) = 50%？
敬請指教
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