「提出一個問題往往比解決一個問題更重要 」~by 愛因斯坦

      這幾天是清明連續假期，學期已經進行了1/3。在這追思慎遠、緬懷祖先的同時，不禁深深的輕嘆，歲月從來都是在你我每日的不經意中點滴消逝。

      自從元宵節之後，日子就開始忙碌，身為主婦、兼職教師與導引孩子們的全職夥伴，時間是很瑣碎的被拆散，稍微不留神就可能累積了「重如泰山」的待辦事項。行事曆上的項目是追著時間跑的同時與頻頻回顧過往交織譜成的現在與未來。過去大半年的時間裡，對於孩子的學習與課業是關心而不嘮叨，讓孩子自己學著找出自己的tempo。

     青少年階段的孩子們相較於幼童會有更多自己鮮明的個性展現，也會有更多不同於幼童時期的情緒起伏。然而，不論是哪一個成長的階段，關愛與尊重是不變的，孩子們不是父母的依附品，他(她)們也是如同你、我，是獨立的人。讓孩子嘗試學著找出自己的tempo、探索自己可能的興趣、調整自己的學習規劃與反覆思索找尋「自己的夢想是甚麼?未來自己想要成為甚麼樣的人?有沒有甚麼是如果在自己有能力之後想要做的回饋?...」，這一連串的 追求自我成就感、找出自己的定位與價值、深思可能的無償付出與貢獻、、，並不會單單只在青少年階段，它們是人生的課題，但是，奠定基石是始於青少年階段。

    開學至今，這一陣子兩兄弟的學習，已經慢慢步上軌道。他們的提問、推論、討論也都提昇了一個層次。上週某個夜晚，測試程式已近午夜，見兩兄弟還在書房窩著，於是，到書房跟他們說不用等我。

    弟弟見到我，馬上揮揮手請我到他們書桌前方，問我如何解決他的數學問題。弟弟這陣子學習數學的部分，自我要求探討深廣的思考題。那天，他提出的問題是一個關於找規律、歸納與遞迴的問題。解答這問題，在國小階段可以使用代入、條列方式慢慢找出規律，國中階段則透過使用代入、條列方式慢慢找出規律、接著透過演譯的方式找出限於這個問題中的限定框架能解決的，到了高中或高中以後的階段，則需要透過使用代入、條列方式慢慢找出規律、接著透過演譯的方式找出限於這個問題中的限定框架能解決的，然後由這一系列限定框架所成立的事件中，透過推理過程推論出通則(一般事理或是結論的證明模式)。

   弟弟之前的提問是「對於數學中某一個單元、議題或是點，找師長詢問時，是不是師長應該要給予提問者完整點兒的導引或解決方式?」~我可以理解孩子在學習上的需求與為什麼有了這個疑問。

   弟弟的提問，正確的解讀應該是「例如這個問題乍看是找規律，很單純的使用國小階段的方法也是可以解決，可是，如果今天要推導的項次不是單單數十項，也許是百項、千項、甚至N項，那，怎麼處理?」這會延伸出「甚麼是演譯?」、「甚麼是歸納?」、「為什麼要找通則?」、「這題有答案不就好了，為什麼要花時間推導、還要嘗試導出公式?」、、，這許許多多的為什麼，是他的疑問與提問，經過與他討論數次之後，他跟我說~「希望以後可以透過任一個他所有疑問的數學問題中，除了帶著他一起想想、思考如何解題之外，也能帶著他連結相關的觀念，然後教他更深層、更廣泛的應用」。

   學習是點、線、面，每個孩子在學習上接受與吸收的能力並不是在同一年齡、同一階段一定都會相同，但是，對於一位導引者或是教師來說，要有能力看出孩子的不同、給予在通則下的 special exceptional case、如此才能發掘或誘導出孩子的興趣或天賦。

   那天午夜，在極睏且雙眼都快要睜不開的情況下，先導引弟弟解決他所問的幾個數學題目，他很貼心地跟我說那隔天要記得找一些相關的延伸觀念資料與相關的應用題型，教他並且讓他練習。

   想著，終於讓弟弟可以開心的沒有煩惱去睡覺，沒想到，坐在一旁的哥哥開口了~

   哥哥: 「媽媽，這個圖案怎麼畫出來的?」

      我:「嗯~很晚了，該睡覺了....喔，書上不是有告訴你嗎?」

   哥哥: 「...(一臉..)，你都比較喜歡弟弟啦!都教他這麼久! 跟我說嘛!這個螺線怎麼來的?」

      我:「嗯~我們明天在研究好不好?真的很晚了!」

   哥哥: 「...(一臉殷切的盼望)，可是妳有說你送我這本書，我看了有甚麼問題可以問妳ㄟ?」

      我:「好~好~我看看...這裡不是有說30度，一個圓360度，書上切12等份...」

   哥哥: 「...(一臉疑惑)，對阿，我知道，可是，書上說沿30度輻射線...這樣就畫出螺線?」

      此時，我發現在書桌的一旁，他早就自我思考如何解決這個問題，

     哥哥的特質是探究問題有打破砂鍋問到底的精神，他曾在國一上學期剛入學沒多久後，問了有關排列組合的問題，當時跟他說了概念、公式，但是他對公式不是很懂，於是我又重新講了至少兩、三次，可是，他還是對於公式的推導過程有疑問，當時也是很晚了，差不多半夜12點多，他說他要繼續做功課，於是我就先去睡覺。沒想到，那天當晚，他為了排列組合的透徹理解與推導公式，除了透過之前剛好借閱數學書籍、ipad上下載的相關文件資料之外，他不睡覺的為了求知，自己反覆推導公式，到了清晨四點多才睡...。

     也因此，我知道，必須要帶著他一起想想、思考與討論，至少要有一個小小的結論。

     然後，哥哥繼續: 「...(一臉疑惑)，我今天有去問A老師，老師有跟我說螺線，可是，也是看到這裏~沿30度輻射線，看了老半天，老師跟我說他不知道這裏的30度是那兒來。」

     我:「嗯~對耶，不過這個30度應該是12等份的每一等份的圓心角...然後，順著畫出來...，你看，你筆記本上畫的，不適也是順著畫出弧線嗎?」

   哥哥:「(一臉疑惑更加疑惑)，嗯~我是有畫出來，可是怪怪的，我的不是很像書本上的那樣。而且，沿30度輻射線...到底是哪裡30度? 輻射線出去後，自己再找30度嗎? 可是怎麼畫都不像...」

   其實，我真的睏到極點了 ....

     我:「(疑惑這孩子...不睡覺...為了一條螺旋線段....)，嗯~睡覺...睡覺....」

      我到臥房去...，這孩子穩坐如泰山，就是不動不移自己離開桌椅，還繼續望著書本想著...。我離開，是因為我已經很睏了，人在極度疲倦之下，是很容易上火的。不想讓孩子很無辜地掃到我的情緒颱風尾，更不想讓孩子心中提問探究的火給熄滅了，既然書本是我送他的，點燃他的求知，我也得負點責任至少先為他解個螺旋線段角度的疑惑。

      於是，拿起我的手機，上網開始查資料，螺線...鸚鵡螺...鸚鵡螺線...，有了...黃金螺線、黃金比例(難怪之前弟弟提到鸚鵡螺與黃金比例有關，當時愚昧無知的哥哥和我還否決了弟弟...)、畢氏定理、阿基米德螺線，甚至費馬螺線、費馬最後定理...。我先找了簡單的阿基米德螺線的Youtube給哥哥觀看。

      我:「這裡、這裡，你說的是跟阿基米德螺線有關，媽咪找了一段影片、簡單的，你先看看。這樣也許可以解決你的疑惑...」

      只見到他的眼睛為之一亮....:「對阿，是和阿基米德有關...」

     哥哥觀看完後:「(疑惑..)，可是，他畫的，我也畫了，他怎麼知道弧線彎曲的角度，我想要知道的是那個彎曲的角度該怎麼畫出來?它是套用甚麼計算或是公式畫的嗎?」

     我:「嗯~應該是吧! 如果是用電腦繪圖，寫程式畫出美麗的螺線，應該是有一定的運算公式才可能繪製出這麼完美的曲線。這樣好了，媽咪也不是很清楚，不過，我明天課程結束後，我再仔細地幫你找找，看看有沒有甚麼線索...你放學後我再教你....該睡覺了，明天我也得幫弟弟找資料，他說它需要很多資料呢!」

     終於，哥哥願意先去睡覺了...適時地停止探究是需要的，因為要有良好的精神才能進行正確的討論。

     不過，睡覺前，他說:「其實，我今天還有問另外一位數學老師(B師)，是透過別班我認識的同學，可是，那個老師沒有解，他說~~這個OOO，他又去哪裡看到這些，拿了補習的題目來問....可是，我又沒有補數學，這問題一定要是補習班出來嗎?不能自己看書提問嗎?」

     我:「唉....」 (很無奈...)  

     隔天，我找了另一段較為完整的影片讓哥哥觀看，也同時讓他看更多的相關文獻或應用文件。

    後來，我去使用iPad的時候，我發現這個孩子還看了更多阿基米德螺線的應用影片。 

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    哥哥與弟弟的提問，透過自主學習與導引，讓他們在解決問題的過程中，得到了更多，而不單單只是問題解決而已。這學習的歷程，我相信他們雖然不能與大部分外面上補習班的孩子一樣，在解題上是看到問題、提問、快速解決，但是，在鴨子划水般的過程中，他們所獲得的是一種結實、擁有連結的能力。即使，將來在過彎滑行時，也能從容不迫而有深度與有廣度的濺起美麗的漣漪。 

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    「提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅僅是一個教學上或實驗上的技能而已。而提出新的問題新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。」~by 愛因斯坦