擴充貝爾不等式通式:   上下數據一致的機率幅≦sin (α) + sin (β)

依量子力學,                   上下數據一致的機率幅=sin (α+β)

sin (α+β) ≦sin (α) + sin (β)       式1

sin (α+β)= sin (α)cos(β) + sin (β)cos(α) ≦sin (α) + sin (β)

式1恆成立, 貝爾不等式未背離量子力學的結果.

我們再看貝爾不等式數學敘述的一般通式.

有兩個粒子(或系統)A和B, 粒子A有兩種物理性質: 甲和乙. 它們是隨機出現的. 粒子B也有兩種物理性質:丙和丁, 它們也是隨機出現的. 這四種物理性質, 各別都只有兩種可能性, 進行測量時可以確定出現的質, 我們以QRST 符號表示性質甲乙丙丁的出現質, 而各別給予+1和-1的值. 也就是說QRST=+-1.

因此我們有數學式QS+RS+RT-QT=(Q+R)S+(R-Q)T=+-2 恆成立.

物理性質甲乙丙丁, 在測量前有機率分配: p(Q=q), p(R=r), p(S=s), p(T=t) 以及p(Q=q,R=r,S=s,T=t).

我們看看數學式QS+RS+RT-QT的期望值,

〈QS+RS+RT-QT〉

=Σp(Q=q,R=r,S=s,T=t)(qs+rs+rt-qt) for q,r,s,t=+-1

≦Σp(Q=q,R=r,S=s,T=t)*2  for q,r,s,t=+-1

=2

所以粒子AB的物理性質, 甲乙丙丁有如下關係:

〈QS+RS+RT-QT〉=〈QS〉+〈RS〉+〈RT〉-〈QT〉≦2

數學式〈QS〉+〈RS〉+〈RT〉-〈QT〉≦2稱為貝爾不等式.

檢查敘述, 此過程的錯誤在: 期望值〈QS+RS+RT-QT〉=Σp(Q=q,R=r,S=s,T=t)(qs+rs+rt-qt), 不可用機率相加, 而需用機率幅相加. 使用機率幅相加後, 造成下式小於2不成立. 沒有所謂貝爾不等式.

貝爾不等式的問題在於, 前面討論的是量子系統, 後面卻套用實數系機率分配系統來運算. 應該了解, 物理的量子系統是屬於複數系向量機率系統, 將量子系統以實數系機率系統模擬, 當然得到不正確的結果.

因此, 作者認為: 貝爾不等式的背離, 只是量子疊加態必然的結果, 並不牽涉量子糾纏事實. 不能證明量子糾纏, 也不能證明非局域. 貝爾不等式的背離, 只能證明: 量子現象必須使用複數系向量機率系統. 也就是說, 貝爾定理, 並未排除 [非局域+隱變數+向量機率系統] 解釋量子糾纏的可能性.

為支持貝爾定理, 有人可能宣稱, 量子疊加, 量子糾纏, 向量機率系統, 三者是同一件事實的不同敘述, 證明了量子疊加與向量機率系統, 便是證明了量子糾纏.

其實不然. 貝爾不等式的背離, 證明了量子系統必須引入向量機率運算, 而不能使用古典實數機率算則. 貝爾不等式的背離, 強迫古典物理思維放棄堅持的宇宙本質, 「物理實在」的確實存有, 並引出兩粒子系統實驗的可行性, 如此而已.

如果說, 使用向量機率運算的系統, 就必需是量子疊加系統, 就必需是量子糾纏系統, (向量機率運算⇒量子疊加系統⇒量子糾纏系統), 那麼無疑的, 違反貝爾不等式, 自然就證明了量子疊加/量子糾纏理論.

不過, 如果說向量機率運算, 是一個較寬廣的體系, 使用向量機率運算的系統, 不一定需要合乎量子疊加/量子糾纏系統. 我們可以說, 如果有一種符合向量機率法則的隱變數解釋, 並不在新的貝爾不等式的管轄內失效, 那麼這種隱變數解釋, 仍有存在的空間.

但是, 如果向量機率運算, 強烈相關(或等同)於量子糾纏, 那麼貝爾不等式的背離, 自然就證明隱變數理論不適合解釋量子系統.  (但作者強烈相信, 存在一種符合向量機率的隱變數理論, 可以使新的貝爾不等式與量子現象相一致.)