1927年10月, 在布魯塞爾舉行的索爾維會議(fifth Solvay conference)中, 量子力學的開創者玻爾, 與物理大師愛因斯坦, 展開量子理論與古典模型的歷史爭論. 玻爾先贏了這場爭論. 不過1935年, 愛因斯坦等三人提出EPR論文, 為這場爭論投下大震撼. 愛因斯坦似乎扳回一成. 此下30年, 量子精英不斷努力解決EPR謬論. 直到1964年, John Bell用數學推論, 得出貝爾不等式, 卻與量子力學的結果相背離. 因此大家公認此一結果, 終結了局域性隱變數理論解釋量子現象的可行性, 確立了量子糾纏非局域關聯的事實. 作者在此提出討論與質疑, 藉以揭露貝爾不等式所表達的真正意義, 與其歷史該有的定位.

雖然, 量子力學與量子糾纏, 此下風起雲湧, 成果累累, 再再證明量子力學與量子糾纏正確無誤的事實. 但是, 作者認為量子現象違反貝爾不等式(violation of Bell inequality), 並不是由量子糾纏才造成, 而是量子疊加現象就已造成的. 貝爾不等式的違反, 並不能證明局域性隱變數理論的不適宜. 違反貝爾不等式, 只是量子疊加態必然的結果, 並不必牽涉量子糾纏事實.

貝爾不等式如下描述: 我們觀察AB兩粒子系統(產生相反關聯AB兩粒子後相互遠離)中的自旋態, 不要只考慮一個方向的自旋分量, 而是選取3個方向abc(不必互相垂直)的自旋分量. 自旋向上用+表示, 自旋向下用-表示. 我們使用(++-)來表示(abc)的自旋態. 如果AB粒子的自旋態, 是在產生時就確定, 那麼我們假設這些隱變數遵守數學機率系統, 也就是說P≧0, ifαβ=0, then P(α+β)= P(α)+ P(β). 那麼, B粒子在(abc)三個方向的自旋態, 就有八種可能組合. 我們以p(++-)來表示(abc)為(++-)的機率, 以p_ab(+-)來表示(ab)為(+-)的機率.

如果, 遠離後AB粒子的自旋態不產生關聯, 也就是說, AB的自旋態遵守局域性守恆, 那麼我們可以先測量B粒子一個方向的自旋態, 比方說a, 再測量A粒子另一個方向, 比方說b, 同時就可以確定B粒子的b方向(與A相反). 以多次的統計方法, 我們可以得到機率p_ab(+-). 同樣以統計方法, 我們可以得到p_bc(+-), p_ac(+-).

依據數學機率系統, 我們可以得到:

p_ab(+-)=p(+-+)+p(+--)        式1

p_bc(+-)=p(++-)+p(-+-)        式2

p_ac(+-)=p(++-)+p(+--)        式3

計算得p_ab(+-)+p_bc(+-)=p_ac(+-)+p(+-+)+p(-+-)      式4

因為p(+-+)≧0, p(-+-)≧0         式5

所以p_ab(+-)+p_bc(+-)≧p_ac(+-)   式6

p_ab(+-)只與ab夾角θ有關, 因此式6可以改寫為

p(θ_ab)+ p(θ_bc) ≧ p(θ_ac)       式7

式7稱為貝爾不等式.

依量子力學可以明確得出p(θ)=1/2 sin²(θ/2)    式8

由式8計算, 有許多方向選擇abc 不遵守式7.  顯然, 貝爾不等式背離量子力學的結果.

好, 至此, 我們需注意: 這個背離結果的產生, 雖然可能因為假設「遠離後AB粒子的自旋態不產生關聯」而來, 更有可能因為假設「自旋態隱變數遵守數學機率系統」就已經埋下錯誤種子-- 這個在量子機率事件中, 就已拋棄的數學系統.

根據量子疊加模型, 量子機率必須是複數向量機率系統, P(α)≧0不成立. 並且兩結果相加時, 是機率幅相加, 而非機率相加: ifαβ=0, then P(α+β)= P(α)+ P(β)中,  P應是機率幅. 上例中, 式1,2,3,5 皆不符合量子機率系統, 已經發生錯誤, 根本不能得到式6式7.

我們再看貝爾不等式的第二個例子, 偏振態.

光子發射源發射偏振光子. 當偏振鏡軸向與光子偏振同方向, 偵測到的機率=1,當偏振鏡軸向與光子偏振垂直, 偵測到的機率=0. 量子力學說, 當角度θ介於0~90, 其偵測到的機率=cos²θ. 而當光子成對出現時, 這對欒生光子有相反的偏振性. 這是強相關. 也就是說對於同方向的偏振鏡, 一個能通過, 另一個就一定不能通過. 對於成θ角的偏振鏡, 同時通過的機率=1-cos²θ= sin²θ.

實驗裝置: 中央一個雙光子發射源, 同時向上下兩端發射欒生光子. 如果上下兩端的偏振鏡軸向一致, 那麼在上下兩端的光子偵測器上, 偵測記錄便完全相反. 偵測到記錄=1, 沒有偵測到記錄=0. 我們對於一個長系列的欒生光子組做偵測記錄, 比方說100對. 那麼記錄數據可能是上端10001101011100----, 下端01110010100011-----. 如果欒生光子的偏振方向是在產生時就已經確定, 並且分離後不再產生關聯, 那麼如果將上端偏振鏡軸順時鐘轉30度(α), 得到的新數據 會與原軸數據一致的機率有cos² 30度=3/4. 也就是變動後的位元, 與下端數據一致的機率=1/4. 如果將下端偏振鏡軸逆時鐘轉30度(β), 得到的新數據, 會與原軸數據一致的機率有cos² 30度=3/4. 也就是變動後的位元與上端(未轉動)數據一致的機率=1/4. 此時, 如果同時將上端偏振鏡順時鐘轉30度(α), 下端偏振鏡逆時鐘轉30度(β), 依據數學機率系統我們將兩項效果加總可以得到: 

上下數據一致的機率=單獨轉動上軸+單獨轉動下軸-上下數據同時變動

上下數據一致的機率=sin² 30(α) + sin² 30(β)-上下同時改變

上下數據一致的機率=1/4+ 1/4-上下同時改變≦1/2

此式稱為貝爾不等式.

但是, 依據量子力學說, 當角度θ=60度時, 數據一致的機率= sin²60=3/4>1/2,

顯然, 貝爾不等式背離量子力學的結果.