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| 2017/08/03 20:14:58瀏覽52｜回應0｜推薦0 | |
| 標題: 數學難題一問---平方數 發問: 已知x, y, z是正整數且(x^2) + (y^2) + (z^2) = 1993，求證x + y + z不是完全平方數。 最佳解答: 情況一 : x , y , z 全為奇數x = 2a + 1 y = 2b + 1 z = 2c + 1x2 + y2 + z2 = 4(a2 + b2 + c2 + a + b + c) + 3 = 1993 a2 + b2 + c2 + a + b + c = 497.5 無正整數 x, y, z 解。 情況二 : x , y , z 兩偶一奇x = 2a y = 2b z = 2c + 1x2 + y2 + z2 = 4(a2 + b2 + c2 + c) + 1 = 1993a2 + b2 + c2 + c = 498令 c2 + c = c(c + 1) = 2k ,當 a , b 均為奇 :a = 2m + 1 b = 2n + 1a2 + b2 + c2 + c = 4(m2 + n2 + m + n) + 1 + 2k = 498 (無解)故 a , b 均必為偶 。 從而 x 及 y 均為 4 之倍。另一方面,(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yx + 2zx ≤ x2 + y2 + z2 + x2+y2 + y2+x2 + z2+x2 = 3(x2 + y2 + z2) = 3(1993) = 5979故 x + y + z < √5979 = 77若 x + y + z 為完全平方數 ,因 x , y , z 兩偶一奇, 故 x + y + z 為奇完全平方數。x + y + z = 9 或 25 或 49。當 x + y + z = 9 或 25 時 ,x2 + y2 + z2 ≤ 252 < 1993 無解故 x + y + z 必為 49。因已證 x 及 y 均為 4 之倍 , x + y + z = 49 之可能數組為 :4 + 4 + 41 , 此時 x2 + y2 + z2 = 42 + 42 + 412 = 1713 < 1993 不合。餘下情況的 x2 + y2 + z2 值勢必少於 1713 全部不合不必再試。因此 x + y + z 不是完全平方數。 2011-02-14 22:22:53 補充： 修正 : x + y + z = 49 之可能數組為 : 4 + 44 + 1 , 此時 x2 + y2 + z2 = 42 + 442 + 12 = 1953 < 1993 不合。 餘下情況的 x2 + y2 + z2 值勢必少於 1953 全部不合不必再試。 因此 x + y + z 不是完全平方數。 2011-02-14 23:08:10 補充： 情況二簡化如下 : x , y , z 兩偶一奇 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yx + 2zx ≤ x2 + y2 + z2 + x2+y2 + y2+x2 + z2+x2 = 3(x2 + y2 + z2) = 3(1993) = 5979 故 x + y + z < √5979 = 77 若 x + y + z 為完全平方數 , 因 x , y , z 兩偶一奇, 故 x + y + z 為奇完全平方數。 2011-02-14 23:08:22 補充： x + y + z = 9 或 25 或 49。 當 x + y + z = 9 或 25 時 , x2 + y2 + z2 ≤ 252 < 1993 無解 故 x + y + z 必為 49。 x + y + z = 49 之可能數組為 : 2 + 2 + 45 , 此時 x2 + y2 + z2 = 22 + 22 + 452 = 2033 > 1993 不合。 2 + 4 + 43 , 此時 x2 + y2 + z2 = 22 + 42 + 432 = 1869 < 1993 不合。 2011-02-14 23:08:27 補充： 餘下情況的 x2 + y2 + z2 值勢必少於 1869 全部不合不必再試。 因此 x + y + z 不是完全平方數。 2011-02-14 23:21:53 補充： 餘下情況的 x2 + y2 + z2 值勢必少於 1869 全部不合不必再試。 因此 x + y + z 不是完全平方數。 2011-02-14 23:35:36 補充： x2 + y2 + z2 大小順序為 : 462 + 22 + 12 = 2121 > 1993 不合。 452 + 22 + 22 = 2033 > 1993 不合。 442 + 42 + 12 = 1953 < 1993 不合。 餘下情況的 x2 + y2 + z2 值勢必少於 1953 全部不合不必再試。 2011-02-15 09:34:50 補充： a = 2m + 1 b = 2n + 1 a2 + b2 + c2 + c = 4(m2 + n2 + m + n) + 1 + 2k = 498 應是 a2 + b2 + c2 + c = 4(m2 + n2 + m + n) + 2 + 2k = 498 = 2(m2 + n2 + m + n) + 1 + k = 249 因 k 是奇數 , 無解 。 謝謝樓下指正。 其他解答: a = 2m + 1 b = 2n + 1 a2 + b2 + c2 + c = 4(m2 + n2 + m + n) + 1 + 2k = 498 (無解) 這裏出現了點問題,請複查 2011-02-15 16:18:25 補充： k不一定是奇數···|||||这题需要用整数的奇偶性分析，过程要慢慢打下来
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