數 學對於程式設計師來說到底重不重要？！類似這樣標題的討論，在網路上已經不知道被討論多少次了。前兩天又在老同事小白的blog上看到了他的看法。以前正 方總是喜歡拿演算法與效率來表明數學很重要的立場，反方或是最近普遍的觀點是要依照需求。兩方都沒錯，我也有一點小心得跟大家分享。
先來談談「數學」在大家的心中是長什麼樣子。我大學時念的是輔大應數，會選應數的原因是一、我的分數上不了資工，二、應數又跟純數不一樣，是比較偏電腦應 用的(事實上不是這麼回事)，應數的全名是應用數學。三、高中時一位要好且電腦很強的同學也是唸輔大應數，所以我就這樣進了數學系。在一般人眼中是個很硬 的科系，那幾年全校1/2的名單中，數學系就佔了一半。數學系所學的數學，跟一般人所會用到的數學不太一樣。除了幾門工科必備的微積分、線性代數、機率統 計外，剩下的都是高深且抽象的數學理論，像是高等微積分、高等代數、幾何學(不是三角形、正方形那種簡單幾何)、拓撲學等。這幾門課程跟本像天書一樣，非 常的抽象(無法畫在直角座標系上)，我能畢業也算是一種奇蹟啊~~我真懷疑我那學唸到博士班的同學們，他們的腦袋是不是跟我長得不一樣。

研究所順利考上的嚮往已久的資工所，成為名符其實的本科系學生，本以為可以不用再玩數學了，但我發現我錯了，是不用再玩那些抽久的高等數學沒錯，但線性代 數、機率統計、離散數學等…用了更多的數學，我想不出來有哪門資工研究所的課沒用到數學的。而且你最後的碩士論文要寫出來，數學更是不能少的。你以為玩網 路不需要數學？大錯特錯，裡面一堆機率統計的東西。電機需要數學嗎？當然需要！最基本的傅利葉轉換就夠搞死你了，所有工科的系所都逃不了數學的魔掌。就算 你到了管理學院，會計系要數學、經濟系要數學、連心理系有些領域也需要數學。雖然所需要的數學不盡相同，但都在數學的領域裡。我開始後悔當年沒把數學唸 好，博士班念到一半唸不下去了，其中一個原因是我數學太爛了。

寫程式需要數學嗎？要看程式的目的？那我們就像討論一個簡單的程式，算出1加到100的總和。

完全以程式結果為導向的人，或是訓練有素的程式女/男工，甚至有時連我都會很直覺的寫出這樣的程式：

int sum = 0;
for (int i=1; i<=100; i++) sum += i;

上面這個程式片段還算很容易讓人一眼就看懂，可是我們明明國中時就學過了這種數列級數的算法了，怎麼還會寫出上面這麼笨的程式呢？

int sum = ((1 + 100) * (100 - 1 + 1)) / 2;

或更精簡的

int sum = (101 * 100) >> 1;

這個例子已經被說爛了，我們來來看另一個例子，計算1加到10000，奇數和偶數的總和。用迴圈的話，一樣很直覺得就寫出來了：

int oddSum = 0;
int evenSum = 0;
for (int i=1; i<=10000; i++)
{
if (i % 2 == 0) evenSum += i;
else oddSum += i;
}

很簡單的程式吧！可是我們稍稍的用我們有12年(國小到高中)的數學背景想一下，你可以寫出更精簡的程式：

int sum = (10001 * 10000) >> 1;
int evenSum = 5001 * 5000;
int oddSum = sum - evenSum;

什麼？看不懂？！sum應該知道怎麼算出來吧？就剛剛第一個例子是1加到100，現在改加到10000而已。evenSum呢？簡單的推理一下，1到 10000之間的偶數總和是2+4+6+...+10000，把它們全部除以2的話會變成1+2+3+...+5000，所以1到10000偶數的總和 不就是1加到5000的兩倍嗎？

1加到5000是：
(5001 * 5000) >> 2 兩倍就不用除那個2了，所以不就是上面那個算式了嗎！

那1到10000奇數的總和不就是全部的總和減掉偶數的總合嗎！稍微動一下腦袋，可以讓你的程式變得很有效率。怕別人看不懂？是不會加個註解在程式碼裡面喔！

相信聰明的你，很容易就可以分析出來這兩個例子的兩種寫法，在效能上迶多大的差異，但這不是我在這裡想要表答數學是如何如何增加效率的。我想要表答的是， 我們明明辛苦了12年，學了一堆的數學，為什麼我們要放棄這樣的基本訓練？我們笑美國人的數學不好，請問你又用了多少的數學來幫助你的生活和你的工作？學 了又不用，那不如從小學開始就分科系好了，不喜歡數學、怕數學的，就選完全用不到數學的科系。

我今天不是要大家在寫程式是時鑽研那種演算法、功式等，去計較那些在現在動不動在2GHZ, 3GHZ，雙核心、四核心之下，所省下的那微小的效率。而是你的態度！你寧願多打一些code，也不願動一下腦筋，如果你的態度是這樣子的話，那也是活得 下去啦，不過你的水平就不過如此而已。

你會反駁說，需要用到演算法、要講求效率時，我再去研究一下就好了，幹嘛說的很嚴重似的。今天我們一時興起，要去爬陽明山，沒問題啊，那種程度的山，只要 雙腳健全走得動的人都能爬。如果換成現在流行的登山步道呢？這需要一點點體力才行。如果你要去爬台灣百岳呢？合歡山的東峰算是最簡單的吧？開車到山腳下， 穿個好一點的鞋子、好一點的衣服、多一點的體力，也還不是太大的問題。那爬玉山呢？雖然現在爬玉山已經很方便了，連行李都可以請人幫你背，但平常沒有一些 訓練，要爬上去不是那麼容易的事。你要站在世界的最高點，去挑戰聖母峰，那全世界沒幾個人辦得到，而且辦到的人事前可是經過了嚴格的訓練。

你想把自己擺在什麼位置？你想要成就到什麼樣的高度？如果你只想在小小的台灣，在二、三流的公司裡，打打專案游擊戰，賺個還算可以的薪水，那的確，你不怎 麼需要數學，連軟體工程的理論也不太需要，最重要的唬弄客戶的技術純熟就可以了。去年去了101的37樓面試後，我才知道我了不起只爬到阿里山而已，要登 上MountainView這座山，我必需十倍努力才行。而這個努力不是我在面試前，看看什麼教戰手冊、寫寫網路上的考古題我就能夠通過的，而是必需把一 些數學的訓練熟到變成很自然的反應才行。簡單的問你就好了啦，上面那個用迴圈寫的1加到10000的那個例子，如果10000改用n的話，那需要多少時 間，用大O(big O)來表示。如果你不能很快的推論出是O(n)的話，那你的履歷連投都不要投，在37樓問的問題比這難多了，而且你沒幾分鐘的時間可以作答。去年那次，是 我第二次後悔當初沒把數學學好。

為什麼Google會這麼重視演算法和效率？應該說世界級的大公司都重視，Yahoo、微軟、YouTube…，因為你寫的程式不是給幾十個人、幾百個人 用而已。而是同一時間有幾百萬，甚至上千萬人使用。一個人慢0.1秒好了，一百萬人就10萬秒，超過一天耶。瀏覽一個網頁，慢個幾秒鐘你都不能忍受了，更 何況是一天。你說能不計較演算法和效率嗎？！

你想過什麼樣的生活是你自己決定的，但你想要當個世界級的軟體工程師的話，把學數學就當作是一種修行吧！不要怕沒地方用，因為你時時刻刻都可以用到它。當你的修行到了某個程度，要挑戰高山，就比別人容易多了。

好好好，不想深入就算了，但你不覺得放棄12年的數學訓練很可惜嗎？至少花點腦筋用一下嘛~~，大家都多少用一點，台灣軟體的水平就會慢慢提升了，你說是嗎？

感覺起來大家還是對於我在上一篇文章中的論點不是那麼的了解，我想要表達的是我並沒有要求堅深、精美的數學演算法， 而是要大家在平常寫程式時，多想一分鐘，把你所約到的數學用上來，不需要多資深的數學背景，只要我們在大學以前所學的12年數學就夠了。目的是什麼呢？為 了有一天需要用到更深一層的數學來解決問題時，做好平日的練習和準備。呃...還是無法體會？我再舉個例子吧。

小明跟小華平常在班上的成績都不錯，但小華不愛小功課，常常到了要交功課的前一天，才向小明借來抄。小明基於朋友的立場，常告戒小華說，老師出功課的目的就 是讓我們平常就把學到的東西熟練，這樣到了考試時才會準備的比較輕鬆。小華腦袋不錯，有點小聰明，但就是愛玩，他覺得浪費時間寫那些功課不如拿去控電動， 功課有交出去就好了，老師也不知道是抄來的，考試？！考前三天再熬夜準備就好了。平常的小考、月考小華還應付的不錯，因為小華頭腦其實不差，所以臨時抱佛 腳的效果還不錯。但終於要到關鍵的基測大考了，小華花了一兩個禮拜來熬夜準備，但考試結果沒有比輕鬆準備的小明來的好。

實力是慢慢累積而來的，也許你很聰明，可以在短時間內硬塞進一些東西在腦子裡，但經驗告訴我們，臨時抱佛腳所讀到的書，在交卷後一秒鐘就全忘光 了。就像農夫為什麼平常要努力的耕田、翻土一樣，要播種時再耕就好了，幹嘛平常就要再那辛苦的挖來挖去呢？大家應到都知道這老掉牙的道理，沒有平常辛勤的 耕耘，怎麼會有豐收的成果。臨時翻土，種得活是運氣好，收成的爛是理所當然。

還是有人在「程式目的」這點上做文章，經過我再次的解釋，不知道大家了解了沒？煎荷包蛋不難吧？同樣是煎蛋，有沒有練習還是差很多的。不知道各位 爸爸們，換尿布的工作是不是你們負責？換尿布也沒什麼難的，但你平常沒熟練，臨時要你參加換尿布比賽，你也是會手忙腳亂的。程式目的不是我的重點，我要寫 的程式也不是專要來解決某個數學問題用的，程式裡本來就到處都有數學的影子。平常多練習一點，有一天需要用到大量的數學時，你就能很輕鬆的應付，而不是眼 睜睜地把機會交到熟練數學的人手上。

文言文？白話文？程式可讀性？信不信就是有人連簡單的迴圈也可以寫得亂七糟，也有寫得很複雜的迴圈，讓人很難了解在幹嘛。程式註解才是程式可讀性 的關鍵，我們不是天天都在一行一行的trace別人的code，事實上我們平常也很少看別人的code，除非你是要改作業、最佳化調整、找別人的Bug之 外。不靠註解，要看懂別人的程式真得很累。就像基測的作文，平平都是白話文，但是有人寫出來的文章就是讓人看不種一樣。

下面這個迴圈在做什麼呢？
int a = 1;
int b = 0;
int c = 0;
for(int i=1, j=-2; a<12346; i+=2, j+=2, a+=2, b+=i, c+=j);

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