「有糖果n顆，一顆糖果有一張糖果紙，蒐集三張糖果紙即可兌換一顆糖果。」 請問要怎麼用n的算式表達最後的結果。 提示：必須分別討論兩種情形。

就從n=1開始想，一個一個算出來，可以找到規律。

一開始，

1顆糖，最後1顆。

2顆糖，最後2顆。

3顆糖，3/3=1，最後3+1=4顆。

4顆糖，4/3=1，最後4+1=5顆。

5顆糖，5/3...2，1+2=3，3/3=1，最後5+1+1=7顆。 

6顆糖，6/3，最後6+2=8顆。

7顆糖，7/3...1，2+1=3，3/3=1，最後7+2+1=10顆。

整理一下。

1顆糖，最後1顆。這結果稱之為a1

2顆糖，最後2顆。這結果稱之為a2

3顆糖，最後4顆。這結果稱之為a3

4顆糖，最後5顆。這結果稱之為a4

5顆糖，最後7顆。這結果稱之為a5

6顆糖，最後8顆。這結果稱之為a6

7顆糖，最後10顆。這結果稱之為a7

是可以看出規律的。再找出公式後，用歸納法證明就完成了。

我們可以發現，

a7=a5+3, a5=a3+3,a3=a1+3。

a6=a4+3,a4=a2+3。

都是等差數列。

所以每增加兩顆糖，就會得到增加三顆糖的結果，所以係數是3/2。然後奇數用a1=1的結果代入，偶數用a2=2的結果代入，就得到了公式。

然後，奇數與下一個奇數都是剩下1張糖果紙，偶數與下一個偶數都是剩下2張糖果紙。