第四節 產品開發對金融計算的要求

金融市場是一個充滿隨機性的地方，自從BSM模型被提出之後，隨機過程被用於各個金融變數之上，不論是匯率、股價、利率、商品價格，甚至信用價差，都是以適當的隨機過程，進入到財務模型之中。透過金融市場的均衡條件，我們便會求得這些金融變數的隨機微分方程(Stochastic Differential Equation)。這一方法以成為目前金融產品開發時，計算其價格與風險的標準程序。

隨機微分方程一般化的求解方式，可以使用測度轉換的方法求得。在特定條件下，少數的隨機微分方程可以有解析解，如陽春型選擇權。但是，就如目前市場上銷售的外匯結構產品Target Redemption Notes，大部分由於償付條件過於複雜，且是路徑相關的條件，因此無法求得簡單的解析解。此時我們只有利用蒙地卡羅模擬法配合測度轉換的理論，使用大數法則來計算這些產品的價格與風險。

在蒙地卡羅模擬法中，我們進行大量的模擬，每一次的模擬就是一個可能的情境路徑(Scenario Path)。實務上，10萬條的模擬路徑是一般的要求，但這只是計算一個價格。通常我們還需要計算Delta、Gamma與Vega等參數，以做為避險的規劃與涉險值的估算。由於沒有解析解，因此需要使用差分來求的這些數值。保守估計，一個產品需要計算四個模擬價格，也就是40萬條的模擬路徑。如果在每條的情境路徑上，每天走一步，產品為一年到期，則每一產品我們一共需要產生約1.5億個模擬亂數(365╳400,000=145,600,000)來執行相關計算。

上述情況在金融計算上並非特例，在一些利率類的結構產品上，情況更為嚴苛。這是因為在外匯產品上，通常只需要模擬一個匯率因子。而在利率類的結構產品上，可能同時要模擬20個利率因子。至於整體公司部位的風險值計算，那就又是另外一種各加嚴苛的情況，以現今大型銀行的資產組合規模而言，計算能量的要求只有更多了。

然而，多核的硬體結構卻是當今金融計算的一個解藥。傳統個人電腦只有一個計算核心的CPU，因此，同時只有一個程序(Process)在執行。當CPU中的計算核心數目增加後，我們可以使用多執行緒(Multi-Threads)的方式，增加計算能力。也就是說在一個主程序執行後，我們可以將主程序展開程多條的執行緒，分別使用每一個計算核去執行各自的工作，最後再合併到主程序來結束。

然而，這樣的做法前提是這些展開的執行緒彼此的工作有一定的獨立性，可以各自工作，到最後才需整併合一，否則這樣的計算流程變沒有辦法提升計算效率。對於前述的蒙地卡羅模擬法，就剛好滿足此一要求。因為每一次的情境路徑模擬，都是各自獨立執行的，這可說是王八看綠豆，對上眼了。

然而，即使可以在CPU內增加計算核(Core)的數量，但是目前CPU最多也只有8個計算核(AMD)，似乎緩不濟急。自然而然，就會想到GPU上大量的計算核心，是否可以成為可用的方案。這裏要說明一點，CPU上的核是通用型的，除了數值運算還有邏輯運算，因此無法像GPU上的專用型核，可以製造那麼多的核。

NAVIA公司於2007年正式發布其泛用GPU(General Purpose GPU)架構，計算統一裝置架構(Computer Unified Device Architecture, CUDA)。在此架構下，程序員可以使用一般的C語言，撰寫執行於GPU上的程式，充分利用GPU多核特性的平行運算程式。自此，摩爾定律的計算紅利，又可以為金融界所共享。

第五節 市場上主流的GPU平行運算架構

目前市場上平行運算的軟體開發架構有兩大類，一類是以CPU的多核架構為主，另一類則是以GPU的多核架構為主。由於金融計算的高運算量，本文著重在後者的架構。市場上GPU的多核架構亦有兩大架構，分別是NVIDIA的CUDA架構，以及由Apple公司提出並得到多家開發商支持，並由Khronos Group設計的開放計算語言(Open Computing Language, OpenCL)。

CUDA是一個專屬於NVIDIA公司的開發架構，因此只支援NVIDIA的GPU顯示卡。由於NVIDIA介入此一領域較早，因此他所提供的工具較為齊全。CUDA所提供的程式庫有BLAS、FFT、Random三大類。另外，CUDA亦提供整合於微軟開發軟體Visual Studio的除錯工具，可以在除錯模式下觀察GPU內變數的變化。另外，除了C語言，CUDA也提供了C++的支援程式庫Thrust。整體而言，CUDA的開發資源相當地好。

OpenCL是近來由Khronos所推出的一個異質性計算的開放架構(註六)，他可以同時使用CPU與GPU的資源，他也不限於單一公司的硬體架構，因此不論是AMD、NVIDIA的GPU或是Intel、IBM的多核CPU，都可以支援使用於此架構之下。然而，OpenCL在程式庫的支援方面，相較於CUDA比較不完整。但是基本的BLAS與FFT程式碼，依然可以由AMD的網站上免費取得。另外，AMD也推出C++語言的支援程式庫Bolt。

不論是CUDA或是OpenCL都是以C或C++語言為基礎的開發工具，對於已.NET平台為主的微軟平台，整合度都不是很理想。幸運的是，網路上都有提供相對應的.NET版的開發工具，ManagedCUDA與OpenCL.NET。這兩套工具皆以C#語言封裝原來的程式庫，可以完整的整合到Windows平台系統。

上述的軟體皆是免費的工具，至於付費的商用軟體也有很多選擇，尤其是CUDA的部分，NVIDA的網站https://developer.nvidia.com/cuda-tools-ecosystem有相當多的資訊可供查詢。

第六節 一個比較範例

相較於CPU，使用GPU做為特定運算的運算中心，其優勢是相當明顯的。下面作者以一個陽春式選擇權作為範例，比較這兩種方法的計算速度，以及計算得精準度，由於此種選擇權有解析解，因此可以解析解的質為比較的根據。

此選擇權的契約條件如下，一年後到期買權，令期初資產價格S₀=100，執行價格K=100，波動性σ=30%，融資成本4%，資產收益2%。。令K表執行價格，S_T為到期日價格，C_T表到期日選擇權的的償付，

使用BSM公式解，可得權利金價格為12.567697。

在實作條件上，我們使用簡單的幾何布朗運動程序，每天模擬一步，因此一條情境路徑需要走365步。每一次的計算模擬262,144條情境路徑。

首先，我們以CPU執行單執行緒的傳統程式，作者使用的硬體開發環境為Intel Core i7-3770@3.4GHz，8G RAM，作業系統為Windows 7專業版32位元的作業環境，以C#為程式語言，使用Mersenne Twister亂數產生器，編譯後執行三次結果如下，

由於使用相同的亂數種子，因此三次計算的權利金皆相同。三次計算的平均時間為8.7360223秒。

接著，我們使用CUDA架構來測試平行運算的執行效果，測試的GPU為NVIDIA Geforce GT640，3GB RAM，CUDA Driver 6.0/Runtime 5.5。使用C#語言搭配ManagedCUDA做為開發工具，其他環境與前面相同。在亂數產生器方面，使用CUDA內建的CudaRand程式庫。此處的計算時間不包含CUDA程式的編譯時間。

由於使用相同的亂數種子，因此三次計算的權利金皆相同。三次計算的平均時間為1.1700016秒。相對計算效率約為7.5倍(8.7360223/1.1700016=7.4666)。

最後，我們使用OpenCL架構來測試平行運算的執行效果，測試的GPU為NVIDIA Geforce GT640，3GB RAM，OpneCL Driver 1.0。使用C#語言搭配OpenCL.Net做為開發工具，其他環境與前面相同。在亂數產生器方面，我們使用Random123亂數產生器。此處的計算時間不包含OpenCL程式的編譯時間。

由於使用相同的亂數種子，因此三次計算的權利金皆相同。三次計算的平均時間為0.1433335秒。相對計算效率約為14.1倍(8.7360223/0.6200009=14.0903)。

整理摘要如下，多核運算有明顯的效益，相對單核的模擬，多核的模擬誤差並不會明顯的增加。在OpenCL的模擬中，使用Random123的亂數產生器，甚至可減低模擬誤差到1%以內。

  *使用BSM公式解，可得權利金價格為12.567697。

第七節 本書的內容與目標

自從1973年Black、Scholes與Merton提出了著名的選擇權訂價理論，將隨機程序模型引入了金融市場，這40年來的發展已經進入到不同的階段。如今大量的數學模型出現在新產品的開發模型之中，數值模擬已成為計算價格與風險的主流。如何進行快速有效的運算已經不是一個理論問題。銀行做為一個金融創新的研發中心，以及這些新創產品生產、銷售的工廠，需要大量的計算能力。

在實務工作中，從事財務工程的工作必須仰賴電腦程式的使用。程式語言的使用是工程師基本技能。所有理論的了解，需要以程式的方式展現出來，而所有工作的完成，也是在程式上解決。然而，程式的撰寫卻是目前大多數商學訓練的不足。因此，作者先以第一篇的內容，配合傳統的Black-Scholes模型，以C#語言說明如何撰寫基本單線程的程式。

在進行複雜的數值運算中，有些數值方法對於一般商學學生，往往不容易自行開發計算模組。鑒於統計軟體R提供簡單的操作介面，而且R本身是開放軟體，可以免費使用，作者便以R做為輔助使用的工作加以介紹。然而，使用R還有更深一層的考量，在開源軟體中，已有R的.NET免費版本，RdotNET可以整合到C#的開發環境。這對軟體的開發，提供了無縫接合的使用。我們在第三篇中可以看到使用的案例。

然而，隨著財務理論的發展，以及市場的演進，傳統的Black-Scholes模型已經不足以解釋市場的複雜情況。針對權益類與外匯類的資產價格，市場上目前較可接受的模型，是以隨機波動性為主流的相關延伸模型。這些模型都是以Heston(1993)的模型為基礎，在進一步的擴充，包括時變參數隨機波動性模型，具跳躍性質的隨機波動性模型，或是隨機局部波動性模型。

本書打算以Heston(1993)模型為出發，做為現代財物模型的出發點，一方面可以銜接大多數讀者在碩士班學習Black-Scholes模型的基礎，另一方面也足以做為市場實務應用的初步基本模型。因此，在第二篇中，作者將仔細介紹Heston模型以及在商品開發的應用情況。

平行運算已是業界使用的重點， CPU的平行運算在.NET架構下，已經相當成熟易用，本書將在第三篇介紹這一主題。

然而，如果想要充分使用平行運算的效益，則GPU上的編程是不可或缺的。本書將在第四篇介紹這一主題。

對於打算進一步學習的讀者，我們將在第五篇中提供兩個重要的學習對象。QuantLib程式庫中，對於重要的財務模型，都有實作的程式碼可供學習。至於如何充分應用GPU的效能，則可以Kooderive程式庫中做為範本學習。Kooderive是Mark Joshi教授將單線程的QuantLib轉寫為GPU的一項成果，值得有志之士好好參考學習。

著名的程式語言專家Herb Sutter，在其2005年的專文“The Free Lunch Is Over＂指出，電腦業的主流計算已經撞牆了(Hit the Wall)，他認為唯有將單核的CPU主流機器轉向到多核的CPU主流機器，並且從作業系統到開發工具全部轉換為多核的模式，程式開發人員才有可能繼續享有摩爾定律的紅利。

自2005年開始，電腦產業將個人平行超級電腦放在每一台桌上型電腦，到2011年即使手持裝置也已完成此一轉換。到了2012年，8核CPU已出現在主流平板與桌上電腦之中。下圖中的異質性核(Hetero-core)所強調的是，GPU的多核能力是我們必須重視的資源，因為很多的電腦與手持裝置都已安裝了GPU。最後是雲核(Cloud-core)的應用，指的是如何使用雲端服務的計算效能。

Herb Sutter在其2012年專文“Welcome to the Jungle＂中提到，如果我們想要在交付軟體之後，繼續享有除了在目前硬體環境的高效能外，還可以在未來更好的硬體環境下享受更高的效能，則我們目前開發的應用程式就必需要有平行運算的潛能，可以橫跨各種不同計算核心的能力，包含本機與分散的，大型、小型與專用型的計算核心。

第八節 附註

註一：A. P. Chandrakasan, M. Potkonjak, R. Mehra, and J. Rabasey, and R. W. Brodersen, “Optimizing Power Using Transformations,” IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems 14, no. 1 (January 1995): 12-31。

註二：CUDA C Programming Guide, CUDA Toolkit 5.5, NVIDIA Corporation。

註三：http://blogs.nvidia.com/blog/2012/07/02/new-top500-list-4x-more-gpu-supercomputers/。

註四：Mike Giles, From CFD to computational finance (and back again)，MIT Center for Computational Engineering, March 14, 2013。

註五：http://www.nvidia.com.tw/object/computational_finance_tw.html。

註六：https://www.khronos.org/opencl/。