2022-12-04 由 中科院物理所 發表于科學

很多人大概都聽說過廣義相對論是愛因斯坦描述引力的幾何理論，也都聽說過引力會導致時空彎曲這樣的結論。但很多人並不清楚愛因斯坦是如何想到把引力這樣一個純粹的物理問題和幾何這樣一個純粹的數學問題聯繫起來的。為了說清楚這點，我們還得從廣義相對論的基本公理，即「等效原理」出發（註：廣義相對論還有一條公理是所謂「廣義協變原理」，它只是狹義相對性原理的自然推廣，要求物理規律必須以張量方程的數學形式表述以保證其在任意坐標變換下協變，但這條公理將不作為本篇文章討論的重點）。 等效原理告訴我們：引力和加速系等價。這件事情第一眼看上去很顯然，但是這個原理真正的微妙之處在於：這裡說的等價只是局部等價而不是全局等價！

比如一個站在地球表面的人和一個處於理想的沒有任何物質的外太空中做勻加速運動的人（假設加速運動的加速度和地球表面的引力加速度大小相等方向相反）無法「區分」自己到底處在哪種情況。注意：此處的「區分」加引號是因為這兩種情況還是可以被區分的：站在地球表面的人如果仔細測量還是能發現離地面不同高度不同位置的身體的各個部位所受到的地球引力的大小和方向是存在很細微的不同的。離地面越高的部位受到的引力越小，反之越大。也就是身體上不同部位對應不同的引力加速度。所以這些不同的引力加速度是不能被一個單一的全局加速系取代的。

這種現象產生的根本原因在於宇宙中真實的引力場是由諸如行星，恆星等物質產生的。也就是說，引力場是有源的，它在數學上對應非零的散度！（這裡更準確的說法不是源而是匯 - sink，因為不像電荷有正有負，由於質量恆正，引力場的力線總是終止於產生該引力場的物質上，所以是匯。）所以根據高斯定理可知，正是這種有源性導致宇宙中並不存在空間各處完全均勻的引力場。所以由它產生的真實的引力效應是無法被一個全局均勻的加速系替換掉的（註：真實的引力效應會對物體產生不可消除的切向擠壓徑向拉伸的可觀測的形變效應，這種效應叫做「潮汐力」，潮汐力是表徵引力最重要的特徵）。所以等效原理嚴格來說只在空間無窮小（局部）的範圍里才成立。

潮汐力示意

在上面的例子裡，因為人的橫向尺度和徑向高度相對於地球半徑來說都太小了，所以我們才可以近似地認為他身體的每個部位都受到大小和方向完全相同的引力，然後才能應用等效原理把它替換成一個單一的加速系。然而對於一個和地球尺度可比擬的物體來說，我們就不能對整個物體直接應用等效原理把它受到的來自地球的引力用一個單一的全局加速系替換掉。這時候我們只能把物體分成很多無窮小的局部區域，然後對每個局部區域逐個應用等效原理將其受到的引力等效替換成一堆局部加速系。所以整塊物體受到的來自地球的引力就可以被等價成無窮多個局部加速系的拼接（嚴格的數學用語叫「聯絡」）。 所以到此為止，我們已經從等效原理出發，得出了引力 = 無窮多局部加速系的拼接這一極為重要的物理洞察！

以上只是定性的推理，為了定量描述這些加速系，我們可以從最簡單的非相對論性運動學出發（即不考慮狹義相對論對運動速度上限的限制以及不同參考系中的時間膨脹和長度收縮等效應）看看時空圖裡的加速系（加速運動）是如何表示的從而獲得一些物理直覺。 不妨先從最平庸的加速度a=0做勻速直線運動的參考系開始考慮。假設初始位置是x=x，速度恆為v=v。所以相對於坐標原點處一個靜止不動的觀察者來說，這個勻速運動的參考系在某一時刻t的位置坐標是x(t)=x+vt。所以我們可以反解出時間t和位置坐標x的函數關係是t(x)=(x-x)/v的線性形式。為直觀起見，下面作出了這個表達式在不同初始位置下的函數圖像（為了作圖方便假設v=1m/s）。其中斜線代表了處在坐標原點靜止不動的觀察者看到的勻速運動參考系的時空軌跡，豎線代表了處於那個做勻速運動參考系上的觀察者看到的這個參考系的時空軌跡。 容易發現，在不同的參考系下，這一系列橫向等距平行的豎線（直線）被映射到一系列橫向等距平行的斜線（仍然是直線！）。沒有任何有趣的事情發生。

現在考慮稍微複雜一點的情形：一個參考系做一維勻加速直線運動（即一個全局的勻加速系），初始位置是x=x，初始速度是v=0，加速度是a=g。所以相對於坐標原點x=0處一個靜止不動的觀察者來說，這個加速參考系在某一時刻t的速度是v=gt，位置坐標是x(t)=x+gt/2。所以我們可以反解出時間t和位置坐標x的函數關係是t(x)=±[2(x-x)/g]。為直觀起見，下面作出了這個表達式在不同初始位置x下的函數圖像（為了作圖方便假設g=1m/s）。其中曲線代表了處在坐標原點靜止不動的觀察者看到的勻加速直線運動參考系的時空軌跡，豎線代表了處於那個做勻加速直線運動參考系上的觀察者看到的這個參考系的時空軌跡。 容易發現，在不同的參考系下，這一系列橫向等距平行的豎線（直線）被映射到一系列橫向等距平行的曲線（注意這裡是曲線！）。也就是說，在我們使用了加速系以後，原先平直的時空坐標系變成了彎曲的時空坐標系。然後應用等效原理，即加速系和引力等價，我們可以得出「引力」和全局等加速度彎曲的時空坐標系等價！也就是說，我們現在可以把這個全局的加速系a=g替換成一個全空間均勻的「引力場」，這個「引力場」在每點的強度都是a=-g，沿x軸負方向。注意：此處的「引力場」加引號是因為此處的所謂「引力場」是虛假的，我們可以通過一個簡單的坐標變換x=x-gt/2把這個「引力」在全空間徹底消除！ 所以這裡所謂的「引力效應」並不是真實的由物質產生的廣義相對論希望描述的引力，而僅僅是因為我們使用了不好的坐標系所導致的！一旦我們換到了好的坐標系，這些虛假的「引力」就會立刻消失！然而，說這個物理圖景不能描述真實的引力並不意味著它就完全沒價值需要被徹底放棄。注意我們之前說的是：引力 = 無窮多局部加速系的拼接，我們並沒直接說引力 = 加速系。所以無窮個局部加速系的拼接應該對應於無窮個局部等加速度彎曲（但全局不等加速度彎曲）的時空曲線坐標系的拼接，也就是對應於一個每點加速度都不一樣的彎曲時空坐標系。然後真實的引力效應就應該被解釋成：如果對一塊區域施以任何的坐標變換都無法把原先彎曲的時空坐標系全局地變成平直坐標系的形式（註：這裡的平直坐標系指的不是歐幾里得空間裡由克羅內克delta度規定義的平直坐標系而是狹義相對論里由閔可夫斯基度規定義的平直坐標系以滿足光速不變原理），那麼在這塊區域裡就一定存在真實的無法被消除的由物質產生的引力。