封閉曲線內的反射問題 - 都都的網誌

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封閉曲線內的反射問題

2009/01/26 13:54:47瀏覽667｜回應4｜推薦2

以下兩個問題是我的疑問,還沒解決,大家可以幫忙想一想...呵呵

1. 平面座標上,在任意封閉曲線內任意找一點,沿著任意方向射出後,途中完全遵守反射定律(即入射角=反射角),問: 是否皆可在經有限多次反射後回到出發點?

2.平面座標上,是否可以找到這樣的一個封閉曲線: 在其內"恰"可以找到一點,使得從這點沿任意方向射出後,經過恰兩次反射又回到出發點?(反射第一次後就回到出發點的話,不合,ex:圓)(若是橢圓也不合,因為如果從焦點延長軸方向射出則一次反射即可)

引用網址：https://classic-blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=ivan5chess&aid=2594928


	2015/03/09 21:22
對不起~我不太懂第1題的證明，這樣不是只說明了封閉曲線的性質嗎？

陳

2009/11/09 21:52

因為由封閉曲線上任一點出發後在此曲線上沿順時針繞此曲線一周必可回到原起點(否則此曲線不稱為封閉),因此切線的法向量可經由連續移動後轉一周,這樣應該容易看出這件事實.

若真要證明我想可利用反證法:假設有一個法向量方向之切線(斜率為m)不存在,意即該封閉曲線恆不與斜率為m之直線相切,由幾何圖形可知此為矛盾.(因為封閉曲線必為連續曲線)

都都(ivan5chess) 於 2009-11-11 17:40 回覆：

嗯嗯我懂囉!

謝謝!

聽完感覺好簡單XDDDD

陳

2009/11/09 14:10

我想第(2)題已經可以確定答案:否.亦即沒有一個封閉曲線符合題意.

我這樣說明:對於任意一個封閉曲線內任一點P,皆有一個特定方向可使其一次反射後就回到原起點,這是因為封閉曲線上的點作切線後的法向量必包含所有方向,故原題目答案應為"否",橢圓,圓之所以不合也是因為此原因.

都都(ivan5chess) 於 2009-11-09 19:08 回覆：

嗯嗯我之前後來有去網路某個數學發問區問過...

他們的說明也是降～

不過

封閉曲線上的點作切線後的法向量必包含所有方向

要怎麼證明呢？

都都(ivan5chess) 於 2009-11-09 19:10 回覆：

之前第一題也有人說明過

他們的答案是找不道

但是他們的解說方式我已經忘了（因為當時也看不太懂,所以沒甚麼印象ＱＱ）

彬哥可以想想～（不過他們也不一定是對的吧）