今天非常高興能來到北京師範大學附屬中學。北京師範大學附屬中學是一所歷史非常悠久的學校，到今年已經成立110週年了。歷史上培養了很多人才，我在這表示欽佩。

中學是培養人才非常重要的階段，所以非常願意和中學生交流。由於中學生數學獎的評選，我也瞭解了國內中學的一些情況，總的來說很不錯，但是也有一些需要改進的地方。其實我沒有受過教師的訓練，也沒有在中學教過書，我今天來到這裡，主要想結合我自己的親身經歷來談談我對中學教育尤其是中學數學教育的看法。

一位學生首先受到的教育是家庭教育，所以我結合個人的成長經驗先談談家庭教育。

我在1960年通過考試到香港培正中學讀書。培正中學是一所非常有名的學校，而我的小學教育是在香港的鄉村完成的，連最基本的英文和算術都不夠水平，所以念中學一年級需要比較用功才能追上培正的課程。但是在鄉下的學校閒散慣了，始終提不起很大的興趣唸書。

當時的班主任是一位叫葉息機的女老師，培正當時每學期有三段考試，每段結束時，老師會寫評語。第一期葉老師說我多言多動，第二期說我仍多言多動，最後一期結語說略有進步，可見我當時讀書的光景。

所幸先父母對我管教甚嚴。先父丘鎮英，1935年廈門大學政治經濟學專業畢業，翌年進入日本早稻田大學大學院深造，專攻政治制度與政治思想史。先父當學院的教授時，學生常到家中論學，使我感受良多。我10歲時，父親要求我和我的大哥練習柳公權的書法，念唐詩、宋詞，背誦古文。這些文章到現在我還可以背下來，做學問和做人的態度，在文章中都體現出來。

我們愛看武俠小說，父親覺得這些小說素質不高，便買了很多章回小說，還要求孩子們背誦裡面的詩詞，比如《紅樓夢》裡的詩詞。後來，父親還讓我讀魯迅、王國維、馮友蘭等的著作，以及西方的書籍如歌德的《浮士德》等。這些書看起來與我後來研究的數學沒有什麼關係，但是這些著作中所蘊含的思想對我後來的研究產生了深刻的影響。

我小時候家裡很窮，雖然父親是大學教師，但薪水很低，家裡入不敷出。我至今非常感激父母從來沒有鼓勵我為了追求物質生活而讀書，總是希望我們有一個崇高的志願。

他在哲學上的看法，尤其講述希臘哲學家的操守，和尋求大自然的真和美，使我覺得數學是一個高尚而雅緻的學科。父親在所著《西洋哲學史》的引言中引用了《文心雕龍?諸子》篇的一段：「嗟夫，身與時舛，志共道申，標心於萬古之上，而送懷於千載之下。」這一段話激勵我，使我立志清高，也希望有所創作，能夠傳諸後世。我父親一直關心著國家大事，常常教育子女，做人立志必須以國家為前提。我也很喜歡讀司馬遷的詩詞。司馬遷的「究天人之際」正可以來描述一個讀書人應有的志向。

一個學者的成長就像魚在水中游泳，鳥在空中飛翔，樹在林中長大一樣，受到周邊環境的影響。歷史上未曾出現過一個大科學家在沒有文化的背景裡，能夠創造偉大發明的。比如愛因斯坦年輕時受到的都是一流的教育。

一個成功的學者需要吸收歷史上累積下來的成果，並且與當代的學者切磋產生共鳴。

人生很短，無論一個人多聰明，多有天分，也不可能漠視幾千年來偉大學者共同努力得來的成果。這是人類瞭解大自然、瞭解人生、瞭解人際關係累積下來的經驗，不是一朝一夕所能夠成就的，所以一個人小的時候博覽群書是非常重要的。

有人自認為天賦很高，不讀書就可以做出重要的題目，在我看來是沒有意義的。四十多年來，我所接觸的世界上知名的數學家、物理學家、社會學家還沒有這樣的天才。

最近有一位日本80後作家加藤嘉一在新書《中國的邏輯》中談道，在中國知識非常廉價。中國的物價、房價都在漲，獨書價不漲。書價便宜的原因是買書的人少。中國的文化是很深厚的，如果你們年輕人不讀書，幾千年的文化不能傳承。不論經濟怎麼發展，但是文化不發展，中國都不可能成為大國。所以我希望大家多看書，看有意義的書，這是一件有意義的事情。

在小學學習的數學不能引起我的興趣，除了簡單的四則運算外，就是雞兔同籠等問題，因此大部分時間花在看書和到山間田野去玩耍，也背誦先父教導的古文和詩詞，反而有益身心。

在中學一年級開始學習線性方程，使我覺得興奮。因為從前用公式解答雞兔同籠問題，現在可以用線性方程來解答，不用記公式而是做一些有挑戰性的事情，讓我覺得很興奮，成績也比小學的時候好。我父親在我讀9年級的時候就去世了。先父的去世使我們一家陷人困境。但母親堅持認為孩子們應該繼續學業。儘管當時我有政府的獎學金，但仍不夠支付我所有的費用。因此我利用業餘時間給小孩子做家教掙錢。

我參考了歷史上著名學者的生平，發現大部分成名的學者都有良好的家庭背景。人的成長規律很多，原因也很多，相關的學術觀點也莫衷一是。但是良好的家教，無論如何都是非常重要的。

童年的教育對一個孩子的影響是重要的，啟蒙教育是不可替代的，它往往奠定一生事業的基礎。

雖然一位家長可能受教育的程度不高，但是他在孩子很小的時候仍然能夠培養孩子的學習習慣和學習樂趣。對孩子們來說，學到多少知識並不是最重要的。興趣的培養，才是決定其終身事業的關鍵。我小學的成績並不理想，但我父親培養了我學習的興趣，成為我一生中永不枯竭的動力，可以學任何想學的東西。相比之下，中國式的教育往往注重知識的灌輸，而忽略了孩子們興趣的培養，甚至有的人終其一生也沒有領略到做學問的興趣。

無論如何，學生回家以後，一定要有溫習的空間和時間。遇到挫折的時候，需要家長的安慰和鼓勵。這是很重要的事情。

另外，家長和老師需要有一個良好的交流渠道，才會知道孩子遇到的問題。現在有些家長都在做事，沒有時間教導小孩，聽任小孩放縱，反而要求學校負責孩子的一切，這是不負責任的。反過來說，由於只有一個小孩的緣故，父母很寵愛小孩，望子成龍。很多家長對小孩期望太高，往往要求他們讀一些超乎他們能力的課程。略有成就，就說他們的孩子是天才，卻不知是害了孩子。每個人應該努力瞭解自己的能力，努力學習。

平面幾何的學習是我個人數學生涯的開始。

在中學二年級學習平面幾何，第一次接觸到簡潔優雅的幾何定理，使我讚歎幾何的美麗。歐氏《幾何源本》流傳兩千多年，是一本流傳之廣僅次於《聖經》的著作。這是有它的理由的。它影響了整個西方科學的發展。17世紀，牛頓的名著《力學原理》的想法，就是由歐氏幾何的推理方法來構想的。用三個力學原理推導星體的運行，開近代科學的先河。到近代，愛因斯坦的統一場論的基本想法是用歐氏幾何的想法構想的。

平面幾何所提供的不單是漂亮而重要的幾何定理，更重要的是它提供了在中學期間唯一的邏輯訓練，是每一個年輕人所必需的知識。平面幾何也提供了欣賞數學美的機會。

一個很有名的例子，江澤民主席在澳門濠江中學提出的五點共圓的問題。我第一次聽說覺得非常有意思，很多讀者對江主席這個問題都很感興趣，都想從基本定理出發推導這個定理。最近我很驚訝地聽說，很多數學教育家們堅持不教證明，原因是學生們不容易接受這種思考。

誠然，從一個沒有邏輯思想訓練的學生，到接受這種訓練是有代價的。怎麼樣訓練邏輯思考是比中學學習其他學科更為重要的。

將來無論你是做科學家，是做政治家，還是做一個成功的商人，都需要有系統的邏輯訓練，我希望我們中學把這種邏輯訓練繼續下去。中國科學的發展都與這個有關。

明朝利瑪竇與徐光啟翻譯了《幾何原本》這本書，徐光啟認為這本書的偉大在於一環扣一環，能夠將數學的真理解釋清楚明了，是了不起的著作。開始時中國數學家不能接受這種證明的方法，甚至到了清朝康熙年間，幾何只講定理的內容不講證明，影響了中國近代科學的發展。

幾何學影響近代科學的發展，包括工程學、物理學等，其中一個極為重要的概念就是對稱。希臘人喜愛柏拉圖多面體，就是因為它們具有極好的對稱性。他們甚至把它們與宇宙的五個元素聯繫起來：

△火——正四面體

△土——正六面體

△氣——正八面體

△水——正二十面體

△正十二面體代表第五元素，乃是宇宙的基本要素。

這種解釋大自然的方法雖然並不成功，但是對稱的觀念卻自始至終地左右了科學的發展，並終於演化成群的觀念。到20世紀時，它提供了高能物理的計算以及基本觀點的形成，這個概念今天已經貫穿到現代數學與物理及其他自然科學和工程應用等許多領域。

我個人認為，即便在目前應試教育的非理想框架下，有條件的、好的學生也應該在中學時期就學習並掌握微積分及群的基本概念，並將它們運用到對中學數學和物理等的學習和理解中去。牛頓等人因為物理學的需要而發現了微積分。而我們中學物理課為什麼難教難學，恐怕主因就是要避免用到微積分和群論，並為此而絞盡腦汁，千方百計。這等於是背離了物理學發展的自然的和歷史的規律。

至於三角代數方程、概率論和簡單的微積分都是重要的學科，這對於以後想學理工科或經濟金融的學生都極為重要。

我還想談談體育、音樂、美術以及這些課程與數學的關係。柏拉圖於《理想國》中以體育和音樂為教育之基，體能的訓練讓我們能夠集中精神，音樂和美術則能陶冶性情。古代希臘人和儒家教育都注重這兩方面的訓練，它們對學問和人格訓練至為重要。

從表面上看，音樂的美是用耳朵來感受的，美術的美是用眼睛來感覺的，但是對美的感覺都是一種身心感受，數學本身就是追求美的過程。20世紀偉大的法國幾何學家E．cartan也說：「在聽數學大師演說數學時，我感覺到一片的平靜和有著純真的喜悅。這種感覺大概就如貝多芬(Beethoven)在作曲時讓音樂在他靈魂深處表現出來一樣。」

美術，是以一定的物質材料，塑造可視的平面或立體形象，來反映客觀世界和表達對客觀世界的感受的一種藝術形式。而幾何也是描述我們看到的、心裡感受到的形象。而數學家也極為注重美的追求，也注意到美的表現。偉大的數學家、物理學家Herman Weyl就說過：假如我要在大自然的真和數學裡面的美做一個選擇的話，我寧願選擇美。很幸運的是：自然界的真往往是極為美妙的。真的要做點學問的話，就要懂得什麼叫美，如何在各種現象中找到美的感覺。數學的定理有幾千萬，如何選擇，完全憑個人的訓練感受。

普林斯頓高等研究所的徽章就體現了真和美，左手面是裸體的女神，右手面是穿著衣服的女神。無論文學家、美術家、音樂家和數學家都在不斷地發掘美，表達他們由大自然中感受到的美。一個畫家要畫山水畫，到三峽到泰山到喜馬拉雅山看到的風景是不同的，你沒有去過，一切都是空談。我們看某個風景的圖片和親自去感受是不同的，所以做學問也是同樣的道理，只有身臨其境才知道什麼是真的好，是真的美。

現在來談談體育。無論希臘哲學也好，儒家哲學也好，都注重體魄的訓練。亞里士多德認為希臘人有超卓的意志(High- mindedness)，意指希臘人昂昂然若千里之駒，自視甚尊，憐人而不為人憐，奴人而不為人奴。正如孟子所謂「富貴不能淫，貧賤不能移，威武不能屈」。做學問的人也要有這樣的氣概。縱觀古今，大部分數學家主要貢獻都在年輕時代，這點與青年人有良好的體魄有關。有了良好的體魄，在解決問題時，才能集中精神。重要的問題往往要經過多年持久地集中精力才能夠解決。正如《荷馬史詩》裡面描述的英雄，不怕艱苦，勇往直前，又或如玄奘西行，有好的體魄才能成功。

現在有很多教育家反對學生記熟一些公式，凡事都需由基本原理來推導，我想這是一個很錯誤的想法。

有些事情推導比結論更重要，但是有些時候是不可能這樣做的。做學問往往在前人的基礎上向前發展。我們不可能什麼都懂，必須基於前人做過的學問來向前發展，通過反覆思考前人的學問才能理解整個學問的宏觀看法。

跳著向前發展，再反思前人的成果。當年我們都背乘數表，而事實上任何一個科學家都懂得如何去推導乘數表，物理學家或工程學家大量利用數學家推導的數學公式而不發生疑問，然而科學還是不停地進步。可見學習的過程不見得都是漸進，有時也容許突進。我講這個例子不是讓大家偷懶，不會就算了，而是希望大家不要因為有些不懂就放棄，就停滯不前。

舉一個有名的例子，就是exp(iθ)=cosθ+isinθ，三角函數中比較重要的定理都可以由這個公式推導。我們不難推導它，但是有些學者堅持中學生要找到它的直觀意義，但是可能你找不到直觀意義，卻可以一步一步推導，推導以後就可以向前研究了。

很多中學都不教微積分，其實中世紀科學革命的基礎在於微積分的建立，而我們的孩子不懂得微積分，等於是回覆到中世紀以前的黑暗時代，實在可惜。

我聽說很多小學或是中學的老師希望學生用規定的方法學習，得到老師規定的答案才給滿分，我覺得這是錯誤的。數學題的解法是有很多的，比如勾股定理的證明方法至少有幾十種，不同的證明方法幫助我們理解定理的內容。19世紀的數學家高斯，用不同的方法構造正十七邊形，不同的方法來自不同的想法，不同的想法導致不同方向的發展。所以數學題的每種解法有其深厚的意義，你會領會不同的思想，所以我們要允許學生用不同的方法來解決。

實際上，很多工程師甚至物理學家有時並不嚴格地理解他們用來解決問題的方法，但是他們知道如何去用這個方法。對於那些關心如何嚴格推導數學方法的數學家來說，很多時候也是知道結果然後去推導，所以我們要明白學習的方法有時候需要倒過來考慮問題，先知道做什麼，再知道為什麼這樣做。要靈活處理這些關係。

物理學的基本定律說物體總是尋找最低能量的狀態，在這種狀態下才是最穩定的。你們的學習態度包括我自己基本也有同樣的狀況。人總是希望找到各種理由，使得有時間去做他喜歡的事。就如電子在一定軌道上運行，因為這是它的能量所容許的，但有其他能量激發這些電子後，它可以跳躍。對孩子的學習，我們也需要有新的能量激發使它跳躍。

這種激發除了考試的分數，也來自老師的課堂教學，例如一些有趣的問題，或者非常有名的數學家的故事，都會引起學生的興趣，學生都喜歡聽故事，歷史上有趣的故事很多，值得學生們學習。

美國的中學注重通才教育，數學以外的學科，例如文學、物理學、哲學，都會刺激學生的思考能力，值得鼓勵。

假如學生在學校裡不能學習與人相處，並享受到它的好處，就不如在家裡請一位家庭教師來教導。但現代社會乃是一個合群的社會，學生必須學習與同學相處，並尊重有能力有學問的老師和同學。學生必須懂得如何尊重同學的長處，幫助有需要的同學。學生要培養與他人溝通合作的能力、獨立思考的能力、團隊協作的精神，對周圍人和對社會的責任感，等等，並在這種環境中去訓練自己。

美國的教學體系，有很多地方值得我們學習，雖然這也不見得是一個理想的體系。

比如美國的高中和大學對成績就不給出分數，只給出A、B、C、D。這不是件壞事情，可以削弱學生之間不必要的競爭。為分數而斤斤計較以及爭奪班裡的第一名，會破壞學生之間的合作，集體的力量得不到尊重。中小學教育裡要特別注重對學生獨立人格和品性的培養，學生的個性和個人特點也受到充分的尊重和肯定。

不少學校把對個人品德的要求按頭一個字母縮寫成「PRIDE」 (榮譽)，即Perseverance (堅持)，Respect (尊重)，Integrity (正直)，Diligence (勤奮)，Excellence (優秀)，作為學生自我要求的基本要點。這種美德的評價要尊重人的本性。對於學生本人，要形成自己獨立的價值觀。

對中學生來說，永保一顆純真的童心，保持人與生俱來的求知慾和創造能力，展示自己的個性，這對今後的學習和工作是至關重要的。衷心地希望在座的各位可愛的孩子們快快樂樂、健康地成長。

丘成桐，1949年生，美籍華人。哈佛大學數學教授。他被公認為是近1/4世紀裡世界上最有影響的數學家之一，他在29歲時就攻克幾何學上的難題「卡比拉猜想」，在1982年獲得數學界的「諾貝爾獎」——菲爾茲獎，他是迄今惟一獲得該獎的華人。