數學教育隨筆

學生很期待學點數學教育的內容。我跟他們說，我不是那方面的專業，以前我們有同學是數學教育，上課時她講的說實在我聽不大懂，學數學的人都很厲害。

學生們暗自竊笑，覺得這老師也不怎麼樣嘛！

我簡單照著這兒的課程指南講，很簡單，學前階段只要學數、空間、幾何等簡單的概念，我一下就講完了。後來這兒有大學教科書展，我跑去登記幾本書，對方很快就寄來一本《學前兒童數學教育》，裡面可精彩了！我跟學生預告有很多可學，大家都很期待。

結果這兒「數」的概念從「集合」開始說，我想既然大家那麼喜歡，就照著說吧！不料第一次課講下來，學生皺著眉頭聽完，有點恍神地離開教室，這下可知道不容易了吧！我不是喜歡整人的老師，下節課我趕快從學術術語中跳出來，教點對幼兒園老師簡單、實用的吧！

你能把「計數」一、二、三、四…拆解成幾個步驟嗎？

許多人可能覺得就這樣點算，已經夠簡單了啊！但對幼兒來說，他要先學會依次說出數詞，再來小孩看東西是整體，現在則要能從一堆待算的東西當中區分出每一個元素，接下來要把每個元素跟數詞相對應，當所有元素都對應算完一遍還要知道停止，然後報出最後那個數字，知道它就是這堆數目的總數。

這對成人而言真的太簡單了，我怎麼耐煩教的下去？

不過很幸運，我自己幼兒時期的記憶太好了，我記得幼時的一些趣事；此外，最近剛好看到一則笑話，先從笑話講起：

一位母親問小孩：你要吃幾個雞塊？

小孩說：一百個！

母親提醒他：一百個？你通常吃七、八個就飽了！

小孩說：好吧好吧！那我吃三十個就好了！

好笑嗎？

這笑話顯示了，小孩子雖然可以說出一些數字，但其實對這些數字所代表的意義完全沒有感覺，因此就隨便亂報。

這也讓我對自己小時候一段記憶，有了更深入的體悟。

小時候我記得我一餐吃水餃的數字也是一百個。我印象中最早聽母親問哥哥吃水餃吃多少個，哥哥回答一百個，我本來想吃五十個就好了，但後來不服輸，於是也說要一百個。我真覺得自己小時候每次吃家裡包的水餃真的吃到一百個。

一直到在外面獨立要自己點餐，偶爾我想吃個水餃，我以費用來推敲價錢和數量，大概一餐就只能吃25個到30個，否則就超支了。那吃得飽嗎？我很懷疑，也想不明白小時候哥哥和我如果那麼會吃，怎麼我們家都沒被我們吃垮？

結果我第一次自主點水餃叫了30個，吃得有點撐，這讓我一直搞不懂我幼年時的一百個水餃不知道怎麼吃的？怎麼會幼時胃口這麼大，長大反而變小許多？

一直到我現在準備數學教育，慢慢回想兒時的點滴，我才領悟到當時幼年的我算數目時可能光顧著念，不知道要一對一的算，記憶中才有那麼驚人的食量！

我拿這些經驗、回憶跟學生分享，大家都在偷笑。我叉著腰跟學生說，我相信你們小時候算數一定也有很多類似的情況，應該也很好笑，只是你們記不得了！我現在拿自己的經驗不避恥笑說來給你們聽，就是希望你們能很快了解在幼兒園不是看小朋友一臉自信地說些數字，就以為他已經明白了，身為幼兒園的老師還是要循循善誘，引導孩子們建立真正的數字觀念，了解其中意義。

怎麼了解其中意義呢？

動作和語言都是重要的媒介，你觀察一個小孩，他初會數數，我是說正確點數，通常會有的動作是拿起東西、移動位置，然後嘴巴說一，然後又拿起東西、移動位置，嘴巴說二……，每次點數都要有接觸、移動的動作。慢慢熟悉之後就只要接觸而不用移動即可點數，再來是遠距指點，最後還可以用眼睛點數。而語言上也是原本的大聲，慢慢小聲，然後是嘴唇微動，後來還可以默數。

我們可能以為大人都到了眼睛點數，心理默算的階段，但有的時候情況複雜，大人還是可能退化到前幾個階段，確保點算不至於出錯。

以前我曾在一家科學館服務，有的時候團體民眾進來入場，我們要人工計算人數。一開始我以為自己可以眼睛點數、心理默算，但後來發現狀況太混亂，動作要很快，為避免出錯，還是得像別人一樣藉用計數器，遠距指點，才能確保少錯，這也是當時的標準作業流程。

有天來了名新志工，當資深志工這樣教她的時候，她卻沒有照這標準作業流程來做，因此就被投訴到志工領隊那兒去。

這名新志工很冤枉，她解釋自己家開電影院，已經有數十年的劇場管理經驗，那裡的人數更多，她一定更在乎入場人數。現在當志工雖然沒有拿計數器、沒有遠距點數的動作，但都能在心中默數，她保證絕對不會算錯。

還好我們當時管理志工的同事能接受這說法，因此沒再要求她一定要有怎樣的動作，當然也要跟別人解釋，說明這人的點算人數功力已經超過一般了。

這回憶跟學生分享，是告訴大家雖然我們一般而言都達到眼睛點數、默數的地步，但偶爾遇到複雜情況還是可能退回到更早的階段，需要動作來幫忙，只有非常精熟的人才能夠減少動作。我覺得這很有意思，但學生似乎不大有感覺，畢竟現在這裡有很好的基礎設施，點算人數怎麼還要人工？這經驗讓他們聽起來，可能覺得我是很古老的人。

要說古老，看看我的記憶能多古老？語言是數學很重要的一個媒介，社會環境背景也很重要。有天我跟學生說個小小數學題目來玩玩：

三角幾何共九角，三角三角，幾何幾何？

念完後請大家算。全部人聽完一頭霧水，不知道這是什麼數學題目。我提示，這是小學低年級的程度。

有人隱約得出答案六，但六什麼呢？我問單位？有學生很懷疑地輕聲問：「是角嗎？」

喔！你們對這單位也不熟，是的！「角」在以前也是個單位，貨幣單位，跟這兒用的「毛」一樣。

算你對！好厲害！那意思可知道？

算出答案的學生搖搖頭。

這個題目的情境大家可能也不熟，這是在民國初年的時候，那時候一本書只要幾毛就可以了，這樣大家知道了嗎？讓我把剛剛的文字加上標點看看。

《三角》、《幾何》共九角，《三角》三角，《幾何》幾何？

這裡還牽涉到雙關語，「三角」一下是數學上的三角函數，一下又變身為市場上的價錢；「幾何」一下是數學上的一個主題，轉眼又變為古語中詢問人多少的一種方式。

再不懂！

讓我翻譯一下好了：

這裡有兩本書。一本書介紹三角，一本書介紹幾何。兩本書總共要九毛錢，現在知道介紹三角的那本書三毛錢，那請問介紹幾何那本書多少錢啊？

學生聽完笑的快昏倒，覺得我這位老師還真是久遠時代的人啊！我初次聽這題目是國中時期的國文課，我們當時也聽得糊哩糊塗，不明所以。等到答案出來的時候則覺得很有趣。

你不覺得嗎？

讀數學，掌握到意義之後，如果要確定能夠靈活運用，就要給予豐富的情境去體驗，今年中國大陸這裡升大學的入學考試數學就出得很精彩。

本來我已經過了關注大學入學考的年齡，也沒有工作需要去關心，不大在意考什麼。然而端午節後幾天看這裡的新聞、網路，一片哀嚎，還有人說今年高考生，考完之後都成為「段子手」，這裡稱短文為「段子」，段子手就是寫短文的高手。讓我們轉載幾篇來欣賞：

考完語文我哭了，等考完數學我才知道，我哭早了。

考完語文，大家沉默不語；考完數學，大家都哈哈大笑。這就是心受傷和腦受傷的差別。

題出的很好，重點也都很到位，題比較常規，但就是三年前數學課本發錯了。

我們都以為數學總是換湯不換藥，結果今年厲害了，換了個碗！

將筆插入筆帽的那一刻，是棺材板壓上的聲音，同學們請不要慌，我們也算載入史冊的一屆了。

知道維納斯怎麼死的嗎？被中國高考生罵死的！

看來學好數學不僅要會數學，還要會算卦……

建議明年考蒙娜麗莎微笑的弧對應的圓心角。

大家永遠不會忘記2019年6月7號，因為這一天高考數學和端午節奇跡般重疊，這一天我們奇跡般的和屈原一起過節。

雖然語文沒有考到離騷，但數學足以讓我去見屈原了……

還有老師表示懷疑，不知道以後自己該怎麼教數學？

大陸這兒的題目分好幾區，但今年對這些學生而言，普遍都覺得很難。有人就覺得數學科的出題老師大家好像不分區聯手起來整學生，針對這來抱怨：

江蘇浙江手拉手，誰先簡單誰是狗。

還有話我原本看不懂，但多念幾次，發現是破音字「當」要念一聲，「當作」的意思。我原本念四聲，因此意思差個十萬八千里。大家看看：

在2019年的高考數學江湖上流傳著這樣一句話：“文科生當理科生，理科生當華羅庚”

華羅庚是名近代的數學天才，這是說中國大學入學考試連文科的數學都很難，而理科更是把大家都當成數學天才！

由於過去有一年困難次年一定簡單的說法，因此有人喊話說：

明年全國一卷數學要是簡單的話，請記住，那是19屆拿命換來的。

才幾天工夫，針對這此數學考試發文討論的數量，超過幾十億。還有一名常被考生、家長點名專出怪題目刁難學生的老師又被人憶起、責怪，但他特地跳出來說這個黑鍋不背，自己並沒有參與這次任何考區的出題，同時他也鄭重表示，這些數學題目並不難。

這讓我很好奇，於是找了一份考卷來看看，先算幾題。天哪！一開始我真覺得是自找苦吃，題目看起來有點眼熟，但簡單俐落的招式我已經使不出來。

不過我依稀記得一些基本定義，從定義拿出來寫寫畫畫，居然可以算出答案，我點點頭，嗯！還不錯。

不過那些都是典型、基本的題目，我算了兩題見證有題目不算難，而且確認自己仍有些功力之後，就跑去找被大家抱怨的題目，維納斯是其中之一。原來那是講黃金比例，先用維納斯介紹黃金比例的概念，然後給了某位符合這標準人的腿長等資訊，求其身高。

就這樣？

老實說這並不難啊！可能比較有問題的地方在於題目所給的條件不充足，算不出精確答案，只能理出個範圍，但這是選擇題，偷懶的話還可以拿幾個選擇項目來逆推檢驗，應該還好吧！而易經八卦的題目也只是排列組合的機率而已。

慢慢有比較持平的聲音後續出來，還有人分析，這些看似與學校數學不相干的題目（維納斯、易經八卦、雲朵）其實考的是數學在實際場景中的靈活應用，數學概念本身並不難。考生會覺得難，有人猜測是語文閱讀理解問題。還有人覺得是過現在學校教學過份限縮情境，讓所學無法靈活應用，像有人在數學卷子上看到物理題目就昏頭了，事後不斷責怪，這似乎不了解數學在各科、生活中的滲透性。

我想這些說的都很有道理。因此我教幼兒園未來師資，多一點古怪有趣的題目，訓練大家的靈活度、培養大家的語言能力，這也很不錯啊！