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ABC╳D=EFGH
2007/04/14 00:19:37瀏覽1828|回應1|推薦5

ABC╳D=EFGH

填入1,2,3,4,5,6,7,8不重複。


很明顯的,D≠1;D也≠5且C也≠5(∵5的倍數的個位數只有5和0)

           ABC╳D=EFGH
   ABC╳[9-(9-D)]=EFGH
 ABC╳9-ABC╳(9-D)=EFGH
           ABC╳9=EFGH+ABC╳(9-D)

∵左式=9的倍數,9的倍數的數字和必須能整除9
∴右式的數字和也必須能整除9才行

亦即 (A+B+C)╳(9-D)+(E+F+G+H)=9的倍數


【1】若D=8,則9-D=1
∵1+2+3+4+5+6+7+8=36
∴右式的數字和=1╳(A+B+C)+E+F+G+H=36-8=28
28≠9的倍數 ∴D≠8

【2】若D=7,則9-D=2
∴A+B+C+E+F+G+H=36-7=29
右式的數字和=2(A+B+C)+E+F+G+H---第(1)式
令A+B+C=k E+F+G+H=29-k

第(1)式=2k+29-k=29+k=9的倍數

又1+2+3≤k≤5+6+8 即6≤k≤19

∴k=36-29=7 或45-29=16

若A+B+C=7,則E+F+G+H=29-7=22
則A+B+C=1+2+4;E+F+G+H=3+5+6+8
但是 3568(最小排列)/7=509.7>421(最大排列) 

∴此情形無解。

若A+B+C=16,則E+F+G+H=29-16=13
則E+F+G+H=1+2+4+6;A+B+C=3+5+8
但是
358╳7=2506(不合)
538╳7=2506(不合)
583╳7=4801(不合)
853╳7=5971(不合)
 E+F+G+H=1+3+4+5;A+B+C=2+6+8
268╳7=1876(不合)
286╳7=2002(不合)
628╳7=4396(不合)
682╳7=4774(不合)
826╳7=5782(不合)
862╳7=6034(不合)
故D≠7。

【3】若D=6,則9-D=3
∴A+B+C+E+F+G+H=36-6=30
右式的數字和=3(A+B+C)+E+F+G+H---第(1)式
令A+B+C=k E+F+G+H=30-k

第(1)式=3k+30-k=30+2k=2(15+k)=9的倍數

又1+2+3≤k≤5+7+8 即6≤k≤20

∴k=27-15=12

若A+B+C=12,則E+F+G+H=30-12=18
則A+B+C=1+3+8;E+F+G+H=2+4+5+7
 A+B+C=1+4+7;E+F+G+H=2+3+5+8
 A+B+C=2+3+7;E+F+G+H=1+4+5+8
 A+B+C=3+4+5;E+F+G+H=1+2+7+8

找到一解 453╳6=2718。

【4】若D=5,明顯無解。

【5】若D=4,,則9-D=5
∴A+B+C+E+F+G+H=36-4=32
右式的數字和=5(A+B+C)+E+F+G+H---第(1)式

令A+B+C=a E+F+G+H=32-a 
第(1)式=5a+32-k=32+4a=4(8+a)=9的倍數
又1+2+3≤a≤6+7+8 即6≤a≤21
∴a=18-8=10 或 27-8=21
令E+F+G+H=b A+B+C=32-b

第(1)式=5(32-b)+b=160-4b=4(40-b)=9的倍數
又1+2+3+5≤b≤5+6+7+8 即11≤a≤26
∴b=40-27=13

∵a+b=10+13=23≠32
    =21+13=34≠32
∴兩種情況無交集 故無解。

【6】若D=3,則9-D=6
∴A+B+C+E+F+G+H=36-3=33 
右式的數字和=6(A+B+C)+E+F+G+H---第(1)式

令A+B+C=a E+F+G+H=33-a
第(1)式=6a+33-a=33+5a=27+6+5a=9的倍數
又1+2+4≤a≤6+7+8 即7≤a≤21
∴a=15

若A+B+C=15,則E+F+G+H=33-15=18
則A+B+C=1+6+8;E+F+G+H=2+4+5+7
 A+B+C=2+5+8;E+F+G+H=1+5+6+7
 A+B+C=2+6+7;E+F+G+H=1+4+5+8
 A+B+C=4+5+6;E+F+G+H=1+2+7+8

找到一解 582╳3=1746。

【7】若D=2,則9-D=7
∴A+B+C+E+F+G+H=36-2=34 
右式的數字和=7(A+B+C)+E+F+G+H---第(1)式

令A+B+C=a E+F+G+H=34-a
第(1)式=7a+34-a=34+6a=2(17+3a)=9的倍數
又1+3+4≤a≤6+7+8 即8≤a≤21
∴a=無解。

【8】若D=1,明顯無解。

( 知識學習科學百科 )
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引用
引用網址:https://classic-blog.udn.com/article/trackback.jsp?uid=Mathplayer&aid=893242

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學習者
列印下來參考
2011/03/24 17:09
謝謝你  覺得蠻有趣的  所以列印下來仔細研究
梅斯普雷爾(Mathplayer) 於 2011-03-26 01:00 回覆:
歡迎!