ＡＢＣ╳Ｄ＝ＥＦＧＨ

填入１，２，３，４，５，６，７，８不重複。

很明顯的，Ｄ≠１；Ｄ也≠５且Ｃ也≠５（∵５的倍數的個位數只有５和０）

　　　　　　　　　　　ＡＢＣ╳Ｄ＝ＥＦＧＨ
　　　ＡＢＣ╳［９－（９－Ｄ）］＝ＥＦＧＨ
　ＡＢＣ╳９－ＡＢＣ╳（９－Ｄ）＝ＥＦＧＨ
　　　　　　　　　　　ＡＢＣ╳９＝ＥＦＧＨ＋ＡＢＣ╳（９－Ｄ）

∵左式＝９的倍數，９的倍數的數字和必須能整除９
∴右式的數字和也必須能整除９才行

亦即　（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）╳（９－Ｄ）＋（Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ）＝９的倍數


【１】若Ｄ＝８，則９－Ｄ＝１
∵１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝３６
∴右式的數字和＝１╳（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３６－８＝２８
２８≠９的倍數　∴Ｄ≠８

【２】若Ｄ＝７，則９－Ｄ＝２
∴Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３６－７＝２９
右式的數字和＝２（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ－－－第（１）式
令Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ｋ　Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝２９－ｋ

第（１）式＝２ｋ＋２９－ｋ＝２９＋ｋ＝９的倍數

又１＋２＋３≤ｋ≤５＋６＋８　即６≤ｋ≤１９

∴ｋ＝３６－２９＝７　或４５－２９＝１６

若Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝７，則Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝２９－７＝２２
則Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１＋２＋４；Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３＋５＋６＋８
但是　３５６８（最小排列）／７＝５０９.７＞４２１（最大排列）　

∴此情形無解。

若Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１６，則Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝２９－１６＝１３
則Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝１＋２＋４＋６；Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３＋５＋８
但是
３５８╳７＝２５０６（不合）
５３８╳７＝２５０６（不合）
５８３╳７＝４８０１（不合）
８５３╳７＝５９７１（不合）
　Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝１＋３＋４＋５；Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２＋６＋８
２６８╳７＝１８７６（不合）
２８６╳７＝２００２（不合）
６２８╳７＝４３９６（不合）
６８２╳７＝４７７４（不合）
８２６╳７＝５７８２（不合）
８６２╳７＝６０３４（不合）
故Ｄ≠７。

【３】若Ｄ＝６，則９－Ｄ＝３
∴Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３６－６＝３０
右式的數字和＝３（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ－－－第（１）式
令Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ｋ　Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３０－ｋ

第（１）式＝３ｋ＋３０－ｋ＝３０＋２ｋ＝２（１５＋ｋ）＝９的倍數

又１＋２＋３≤ｋ≤５＋７＋８　即６≤ｋ≤２０

∴ｋ＝２７－１５＝１２

若Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１２，則Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３０－１２＝１８
則Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１＋３＋８；Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝２＋４＋５＋７
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１＋４＋７；Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝２＋３＋５＋８
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２＋３＋７；Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝１＋４＋５＋８
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３＋４＋５；Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝１＋２＋７＋８

找到一解　４５３╳６＝２７１８。

【４】若Ｄ＝５，明顯無解。

【５】若Ｄ＝４，，則９－Ｄ＝５
∴Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３６－４＝３２
右式的數字和＝５（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ－－－第（１）式

令Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ａ　Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３２－ａ　
第（１）式＝５ａ＋３２－ｋ＝３２＋４ａ＝４（８＋ａ）＝９的倍數
又１＋２＋３≤ａ≤６＋７＋８　即６≤ａ≤２１
∴ａ＝１８－８＝１０　或　２７－８＝２１
令Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝ｂ　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３２－ｂ

第（１）式＝５（３２－ｂ）＋ｂ＝１６０－４ｂ＝４（４０－ｂ）＝９的倍數
又１＋２＋３＋５≤ｂ≤５＋６＋７＋８　即１１≤ａ≤２６
∴ｂ＝４０－２７＝１３

∵ａ＋ｂ＝１０＋１３＝２３≠３２
　　　　＝２１＋１３＝３４≠３２
∴兩種情況無交集　故無解。

【６】若Ｄ＝３，則９－Ｄ＝６
∴Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３６－３＝３３　
右式的數字和＝６（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ－－－第（１）式

令Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ａ　Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３３－ａ
第（１）式＝６ａ＋３３－ａ＝３３＋５ａ＝２７＋６＋５ａ＝９的倍數
又１＋２＋４≤ａ≤６＋７＋８　即７≤ａ≤２１
∴ａ＝１５

若Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１５，則Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３３－１５＝１８
則Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１＋６＋８；Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝２＋４＋５＋７
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２＋５＋８；Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝１＋５＋６＋７
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２＋６＋７；Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝１＋４＋５＋８
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝４＋５＋６；Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝１＋２＋７＋８

找到一解　５８２╳３＝１７４６。

【７】若Ｄ＝２，則９－Ｄ＝７
∴Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３６－２＝３４　
右式的數字和＝７（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ－－－第（１）式

令Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ａ　Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝３４－ａ
第（１）式＝７ａ＋３４－ａ＝３４＋６ａ＝２（１７＋３ａ）＝９的倍數
又１＋３＋４≤ａ≤６＋７＋８　即８≤ａ≤２１
∴ａ＝無解。

【８】若Ｄ＝１，明顯無解。