當雨滴落在荷葉上

§ Obstacle problem for MCF

[Generic mean curvature flow with obstacles]是高棹 圭介教授之作

我想成雨滴滴落荷葉 因為最近在看均曲率流(mean curvature flow) 看看AI怎麼說

【水調歌頭】雨滴與荷葉

細雨墜青圃，宛轉落蓮心。一珠懸止不下，圓潤自成陰。

不陷不浮如夢，似問誰人設限，曲面止於今。

若論此中理，障礙悄然臨。不穿透，亦不退，形自斂。

欲隨曲率而動，卻被葉縫禁。

漸悟自由邊界，乃是心弦所在，變化總相尋。

從此觀雨滴，亦可識真深。

雨滴掉在荷葉上算得上是遇到障礙的MCF？

ChatGPT：

當雨滴落在荷葉上：

1. 表面張力作用：雨滴不會立刻被荷葉吸收，而是形成球形水珠，這與最小曲面的性質有關。
2. 荷葉的彎曲與撐起：荷葉會因雨滴重量微微下陷或撐起。 
3. 雨滴會滑動：若荷葉傾斜或彎曲，雨滴會沿著曲面滑動甚至彈走。

這些現象都和曲面形變與接觸幾何（contact geometry）有關，

與「障礙問題（obstacle problem）」的某些數學結構產生共鳴。

障礙問題與MCF 障礙問題（Obstacle problem）是變分法與偏微分方程（PDE）中的一類問題，典型情況是：

找出一個函數，使得它在某區域內滿足一定的偏微分方程，同時又不能低於某個給定的障礙函數。

雨滴在荷葉上實際上可以被視為一種受阻的最小曲面問題（即一個液滴表面在受到荷葉限制的情況下達到最小能量配置）。

若考慮水滴落下後再擴散與收縮，那就會像MCF障礙問題的動態版本。

雨滴落在荷葉上」的現象可視為一種自然界的平均曲率流障礙問題具象化：

一個曲面（雨滴）在能量趨小的驅使下嘗試演化，但受到一個障礙（荷葉）限制，不得穿越，最終達成平衡或被迫改變演化路徑。

這正是MCF障礙問題的核心精神。

DeepSeek：

嚴格來說，MCF障礙問題通常研究的是曲面演化時避開固定障礙（如平面），而雨滴問題還需考慮：

1. 流體動力學（如黏性耗散）。
2. 三相接觸線的複雜性（非純幾何約束）。

雨滴在荷葉上的行為可以啟發式地類比為MCF的障礙問題，尤其在靜態形狀或接觸線約束方面。

但嚴格數學模型需擴展經典MCF，納入流體力學和表面化學效應。

若僅關注幾何演化而忽略動態細節，這一類比可作為理解曲面受障礙約束的直觀例子，但需注意其局限性。

看起來似乎 DeepSeek比較嚴謹