二 正交試驗設計簡介
　試驗安排得好，試驗次數少且能獲得滿意的結果，多快好省，事半功倍，反之則事倍功半。
　舉例來說：若影響品質指標的因素有A、B、C 3 種因素，每個因素各取3 個水準，分別
為A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3.(所謂因素的水準即該因素在其試驗範圍內取
具有代表性的“值”，三水準就是有代表性的3 個"值"，水準有時不限於數值，它可以是原料
的種類或操作方式等等)。按傳統的方法採用單因素輪換法安排試驗：譬如因素B 固定在B1
水準上，因素C 固定在C1 水準上，試驗安排為，如果試驗結果發現在A3 水準較好，則
安排試驗 ，這時發現B2 較好，以後就安排 ，如果發現 C3 較好，那麼A3B2C3 為最佳條
件，這種試驗安排的缺點是：①考察的因素水準僅局限於局部區域，不能全面地反映因素的
全面情況，找不出影響品質的主要因素，無法再在三水準外繼續找更好的配比組合(水準)。
②如果不進行重複試驗，試驗誤差就估計不出來，因此無法確定最佳分析條件的精度。當然，
我們可以用全面試驗法按它們所有可能組合的情況做試驗，則需做33＝27 次試驗，對各因
素進行全面考慮，從中選出最優化條件，但這種作法很不經濟，有時是不可能實現的。例如
安排5 個因素的3 水準的全面試驗需做35＝243 次，這在人力、物力、時間上是幾乎不可
能執行的。因此，我們很自然地會提出下列問題：如何從大量的試驗點中挑選適量的具有代
表性、典型性的點呢?特別是怎樣選擇試驗次數儘量少而又有代表性的試驗呢?利用根據數
學原理製作好的規格化表--正交表來設計試驗不失為一種上策，這種設計方法被稱為正交最
優化，即正交試驗設計方法。事實上，正交最優化方法的優點不僅表現在試驗的設計上，更
表現在對試驗結果的處理上。

還以前面提到過的三因素三水準的項目為例，是否同樣做9 次試驗，可以完全克服單因素
輪換法安排試驗的諸多缺點，且能選出影響品質的最主要因素，便於進一步試驗呢?回答是
肯定的，這便是利用正交表，進行正交試驗設計。表1 為三水準正交表中的一種，可以在
本例中應用。

表1 中的水準1、2、3 分別為各自所在的列對應的因素的第1、第2、第3 水準。我們以試
驗6 為例說明每一個試驗是如何組成的：實驗6 是由因素A 取第二水準A2、因素B 取第三
水準B3、因素C 取第一水準C1 所組成的，其餘各組試驗以此類推。這9 個試驗安排得好，

每個因素中每一個水準都有3 個試驗，正是由於它們搭配得均勻，所以任一因素的任一水
平與其他因素的每一水準相碰一次，且僅相碰一次。正因為如此，才便於對試驗結果進行科
學分析。

有時候，利用正交設計試驗得出的結果可能與傳統的單因素輪換法的結果一致，但正交試驗
設計更具有以下優勢：①考察因素及水準合理、分佈均勻。②不需進行重複試驗，誤差便可
估計出來，且計算精度高。③找出了最主要因素，便於進一步試驗。④因素越多、水準越多、
因素之間交互作用越多，正交表的作用越大，而此時即使用單因素輪換法也幾乎不可能實現。
因此，正交試驗設計的使用具有廣闊的天地(交互作用是指兩個或兩個以上因素同時作用時
對試驗結果的影響，這個影響一般不等於各個因素單獨作用所產生的影響之和。當需考察因
素之間的交互作用時，因素的排列是有講究的。

正確運用試驗設計方法

一 試驗設計概述
在工農業生產和科學研究中，經常需要做試驗，以求達到預期的目的。例如在工農業生產中
希望通過試驗達到高質、優產、低消耗，特別是新產品試驗，未知的東西很多，要通過試驗
來摸索工藝條件或配方。如何做試驗，其中大有學問。試驗設計得好，會事半功倍，反之會
事倍功半，甚至勞而無功。

從20 世紀30 年代r.a.fisher 把試驗設計用於農業取得空前成功起，試驗設計對微觀經濟及
管理做出了重大貢獻。50 年代美國戴明把試驗設計傳到日本，用來減少產品性能異性以提
高產品品質，影響整個日本工業界。而60 年代日本田口玄一將“正交設計”表格化，極大改
善了試驗設計，並引入全面品質管制，大大提高了日本產品在國際上的聲譽和競爭力。80
年代，許多美國公司引進田口玄一方法，對美國研製新產品起了推動作用。中國統計工作者
在應用中，開發研製了許多適合中國國情的方法，推廣項目達數萬項，經濟效益累計達十幾
億元以上，而且節省了大量的人力、物力。

近年來，新技術、新材料、新工藝等大量新生事物的出現，為各行各業帶來了新的機遇。同
時，在新技術、新材料、新工藝的試用和使用中，也給我們帶來了新的挑戰，這就需要我們
工程技術人員必須掌握科學的試驗設計方法並應用於新生事物的研究、試驗、開發中，這樣
才有利於新生事物的推廣和應用，而正交最優化試驗設計方法無疑是我們的最佳選擇之一。
試驗設計在工業生產和工程設計中能發揮重要的作用，例如：

1）提高產量；
2）減少品質的波動，提高產品品質水準；
3）大大縮短新產品試驗週期；
4）降低成本；
5）延長產品壽命。

在自然科學中，有些規律開始尚未由人們所認識，通過試驗設計可以獲得其統計規律，在此
基礎上提出科學猜想,這些猜想促進了學科的發展，例如遺傳學的許多發現都藉助於上述過
程。

一.“均勻設計”的優點
1. 試驗次數大大減少。例如某化工試驗，欲找出最優產量或其他優化目標條件。試驗因
素3 個，每因素在取值範圍內均有7 個試驗點。 　
採用“優選法”： 對多因素同時選優的試驗，不適用。
採用“正交法”： 需做49 次試驗，方可找出最優產量或其他優化目標條件。
採用“均勻設計”：只需做7 次試驗即可。

2. 自動將各試驗因素分類為重要與次要，並將因素按重要性排序。
3. 過程數位化，通過電腦對結果與因素條件進行界定與預報（如天氣預報），進而控制各
因素。

二.“均勻設計”的操作過程

1. 先由技術人員選出試驗的關鍵因素，並確定各因素的取值範圍及試驗點；
2. 根據“均勻設計”選出適當的“試驗表”；

3. 按照表格規定的順序做試驗；
4. 電腦算出該試驗的數學模型，再算出優化條件及優化結果　

三.單純形法優化法
1962 年W.Spendley 等首先提出了基本單純形優化法,1965 年J.A.Nelder 等提出了改進單
純形優化法,變固定步長為可變步長,並引入了反射,擴大與收縮規則,加速了優化過程.自此以
後,不少學者從不同角度對單純形優化法作了改進.　
單純形優化法的特點是:計算簡單,不受因素數的限制,當因素增多時,試驗次數並不增加很多,
只需進行不多次數的實驗就可找到最佳的試驗條件.
與正交試驗設計及均勻試驗設計不同之處在於,每一次選用的試驗條件是根據前一次實驗的
結果來選定的,對試驗條件逐步進行調整,最後達到優化,因此,它是一種動態優化方法.

第四節 試驗的因素和水準
在工業、農業、科學研究和軍事科學的研究中，經常需要作各種試驗，以研究各種因素
之間的關係，找到最優的工藝條件或最好的配方。
讓我們先看一個例子：例1 在一個化工生產過程中，考慮影響得率（產量）的三個
因素：溫度(A)，時間(B)和加堿量(C)。為了便於試驗的安排，每個因素要根據以往的經驗
來選擇一個試驗範圍，然後在試驗範圍內挑出幾個有代表性的值來進行試驗，這些值稱做該
因素的水準。在該例中，我們選擇的試驗範圍如下：
溫度： 77.5℃～92.5℃-
時間： 75 分～165 分
加堿量： 4.5%～7.5%
然後在上述範圍內，每個因素各選三個水準，組成如下的因素水準表：

表1 因素水準表

因素 1 2 3
溫度（ ） 80 85 90
時間（分） 90 120 150
加堿量（％） 5 6 7

選擇因素和水準關係到一個試驗能否成功的關鍵，下列的注意事項和建議對使用試驗設計的
人員可能是有益的。

1．在一個生產過程中，有關的因素通常是很多的，例如在例1 的化工生產工藝中，有催
化劑的品種，催化劑用量，加堿時的速度，容器中的壓力等。但根據這次試驗目的，除了溫
度（A），時間（B），和加堿量（C）各取三個水準外，其餘因素是固定的，或者講，他們

只取一個水準。為了方便，通常這些固定的因素在試驗方案中並不稱為因素，只有變化的因
素才稱為因素。

2．在一項試驗中，如何從眾多的有關因數中挑選出試驗方案中的因素？我們建議課題的領
導者應當要請有經驗的工程師、技術員、工人共同討論決定。在一次試驗中，因素不宜選得
太多（如超過10 個），那樣可能會造成主次不分，丟了西瓜，揀了芝麻。相反地， 因素也
不宜選得太少，（如只選定一、二個因素），這樣可能會遺漏重要的因素，或遺漏因素間的交
互作用，使試驗的結果達不到預期的目的。例如，有這樣的故事，原計劃試驗方案中只有三
個因素，而利用試驗設計的方法，可以在不增加試驗數目的前提下，再增加一個因素，既然
不費事何樂而不為呢？試驗的結果發現，最後添加的這個因素是最重要的，從而發現了歷史
上最好的工藝條件，正是“有心栽花花不成，無意插柳柳成蔭。”

3．試驗的範圍應當盡可能大一點。如果試驗在試驗室進行，試驗範圍大比較容易實現；如
果試驗直接在生產中進行，則試驗範圍不宜太大，以防產生過多次品，或產生危險。試驗範
圍太小的缺點是不易獲得比已有條件有顯著改善的結果。歷史上有些重大的發明和發現，是
由於“事故”而獲得的，也就是說試驗的範圍大大不同於有經驗的範圍。

4．若試驗範圍允許大一些，則每一因素的水準個數最好適當多一些。

5．水準的間隔大小和生產控制精度是密切相關的。若在例1 中溫度的控制只能作到 ±3℃,
且我們設定控制在85℃,於是在生產過程中溫度將會在85°±3℃,即82—88℃波動。不難看
到，這時設定的三個水準80℃,85℃,90℃之間是太近了，應當加大，例如80℃,90℃,100
℃。如果溫度控制的精度可達±1℃,則例1 如設定的三個水準是合理的。

6．因素和水準的含意可以是廣義的。例如五種棉花用於織同一種布，要比較不同棉花影響
布的品質的效應，這時“棉花品種”可設定為一個因素，五種棉花就是該因素下的五個水準 。

第五節 因素的主效應和因素間的交互效應
根據試驗的目的，要預先確定一項或多項試驗指標，為簡單計，本節僅討論只有一項試驗指
標（記作Y）的情形。如例如1 的試驗Y 是得率。在數理統計中，稱試驗指標為回應（response）為通俗起見，本書中就叫試驗指標。
考察一個因素對試驗指標的影響是試驗的目的之一。若在一項試驗中，考察溫度和得率Y
之間的關係，並取溫度五個水準，其相應Y 值如下：

溫度 50℃ 60℃ 70℃ 80℃ 90℃
Y 30% 35% 40% 45% 50% 我們看到，溫度每增加10℃得率增加5%這5%就是溫度的效
應。上述試驗可以表成一個線性數學模型

(1.1) 其中為第 次試驗結果， 為溫度從50℃到90℃範圍內Y 的平均值。通常可以用五次
試驗的平均值來估計，記作 ，即 r 表示溫度取第 個水準時 的值與之 差。不難發現，它
們的估計值為這裏 稱為溫度在五個水準下的主效應， 為它們的估計值。 由於試驗中總存
在一些偶然因素的干擾，如室溫的變化，電壓的波動，材料的不均勻性，這些偶然因素總稱
為隨機誤差。由於試驗誤差的存在，不可能產生上例那麼理想的情況。其實際資料可能為溫
度 50℃ 60℃ 70℃ 80℃ 90℃
Y 32% 34% 39% 46% 49% 這時數學模型為

(1.2)這裏為第 次試驗的試驗誤差。這時試驗必須有重複才能估計出。實際上，當試驗的
水準和相應的Y 為連續變數時，其數學模型也可以用回歸方程來表達，例如，用線性回歸
方程 (1.3) 其中X 表示溫度， 和 是回歸係數， 為隨機誤差。在第二章將介紹， 和 可
以用最小二乘法由試驗資料估出， 由上述溫度和得率的資料可得回歸方程

(1.4)這裏為試驗結果Y 的估計值。利用方程(1.4)可以估出五次試驗的結果如下：
30.8 35.4 40.0 44.6 49.2
1.2 -1.4 -1.0 1.4 -0.2
17 氡f?%?
其中 稱為殘差，它的大小反映了回歸方程(1.4)的精確程度，並可用它作回歸診斷。
方程(1.4)中，X 的回歸係數0.46 有明確的實際含意，它表示溫度每增加一度，其得率Y 平
均增加0.46%，於是0.46 反映了X 對Y 的效應，這裏可以稱為線性回歸效應。
有一點是必須注意的，無論是模型(1.2)中的主效應 ，還是模型(1.3)中的線性回歸效應 ，
都強烈地依賴於試驗條件，尤其是X 的試驗範圍，也就是說，這兩個模型只適用於X 的試
驗範圍內。否則，當X 為210°時， 的估值為104.4%，這是不可能的，因為得率總是小於
100%的。
顯然，模型(1.2)和(1.3)是最簡單的情形，實際情況是多種多樣的，例如X 和Y 之間可能有
非線性回歸關係，或其他相關關係。這些將在以後討論。 ^乊f 哸o 謎?
現在我們來介紹因素間交互作用的概念。首先，設有兩個因素A 和B 它們各取兩個水準 和 。
這時共有四種不同的水準組合，其試驗結果列於圖1。當 時， 變到 使Y 增加30-10=20；
類似地，當 時， 變到 使Y 也增加40-20=20。這就是說A 對Y 的影響與B 取什麼水準無
關。類似地，當B 從 變到 時，Y 增加20-10（或40-30=10），與A 取的水準無關。這時，
我們稱A 和B 之間沒有交互作用。判斷和之間有沒有交互作用,選用圖2 的作圖方法更為直
觀。當圖中的兩條線平行時（或接近平行時），判斷A 和B 之間沒有交互作用.圖3 和圖4
給出了一個有交互作用的例子，它們的含意和作圖方法與圖1 和圖2 是一樣的。

交互作用在實際中是大量存在的，例如化學反應中催化劑的多少與其他成分的投入量通常是
有交互作用的。水中各種金屬含量太多，對人體健康會造成危害，金屬之間對人體的危害也
存在交互作用（參見例5）。
當因素A，B 及其它們的試驗指標Y 都為連續變數時，可以建立Y 和A；B 之間的回歸方
程。若回歸方程為
（1.5）
時，A 對Y 的影響由回歸係數完全決定，不受B 取哪個水準的影響；類似地，B 對Y 的影
響由回歸係數γ 完全決定，不受A 取哪個水準的影響；類似地，對的影響由回歸係數 完全
決定，不受取哪個水準的影響。這時A 和B 沒有交互作用。
當A 和B 之間有交互作用時，回歸模型不可能為線性的，其中一定有非線性的。最常見的
模型之一為

（1.6）

其中 為回歸係數， 為隨機誤差。這時若 >0，稱A 和B 之間有正交互作用；若 <0,
稱A 和B 之間有負交互作用.請看如下兩個例子 .
當A=3.5,B=4.10 時，相應兩個回歸方程的試驗指標列於圖5 和圖6。我們看到兩種情形均
有交互作用，且一個為正交互作用，另一個為負交互作用。
兩個因素之間有交互作用時，其回歸模型不一定呈(1.6)形式，、
更詳細討論可參見第二章第三節。多個因素之間（超過二個因素）也可能有交互作用,該問題也將在第二章討論。

第六節 全面試驗和多次單因素試驗

在一項試驗中，當因素和水準確定後，如何設計該項試驗呢？下面兩種方法是最容易想到的：
1、全面試驗
該方法將每一個因素的不同水準組合做同樣數目的試驗，例如將每個因素的不同水準組合均
作一次試驗。
在一項試驗中若有m 個因素, 它們各有個水準, 則全面試驗至少需做 次試驗。例如，在例
1 中，則全面試驗至少做 次試驗。當因素的個數不多，每個因數的水準數也不多時，人們
常用全面試驗的方法，並且通過資料分析可以獲得較為豐富的結果，結論也比較精確。當因
數較多，水準數較大時，全面試驗要求較多的試驗。例如，有六個因素，每個因素都是五水
平，則至少需 次試驗，這個數目太大了，對絕大多數場合，做這麼多次試驗是不可能的。
因此，我們需要一種試驗次數較少，效果又與全面試驗相近的試驗設計方法。

這個方法在工程和科學試驗中常被人們所採用，現以例1 來說明這個方法。例1 試驗的目
的是要尋找好的工藝使得化學反應後的得率最高。為介紹簡單計，設試驗誤差較小，故不作
重複試驗（即在同一試驗條件下將試驗重複多次）。 設先將時間和加堿量固定，變化溫度，
試驗結果如下:

B＝90 分 80℃ 85℃ 90℃

C＝5% 33% 70% 64%

其中33%，70%和 64%為得率，三次試驗中，以70%為最高，故溫度85°為最佳。第二步
固定溫度和加堿量，變化時間，其試驗結果如下：
A=85℃ 90 分 120 分 150 分
C=5% 70% 73% 59%
以反應時間為120 分最佳。下一步是固定時間和溫度，變化加堿量，獲得如下結果:
A＝85℃ 5% 6% 7%
B＝120 分 73% 75% 68%
以加堿量 75%為最佳，於是有人就得出結論：最佳工藝為A＝80℃，B＝120 分，C＝6%。
當因素之間沒交互作用時，這個結論是正確的；當因素之間有交互作用時，該結論一般不真，
今設例 1 的因素間有交互作用，在上述試驗的基礎上，若我們固定B＝120 分，C＝6%，
變化因素 A 並獲得如下結果：
B＝120 分 80℃ 85℃ 90℃
C＝6% 46% 75% 78%
發現有更好的工藝條件。這時我們發現溫度的效應是依賴於因素B 和C 的，當B＝90 分,C

＝ 　

5%時，溫度以85℃為佳，而當B＝120 分，C＝6%時，溫度以90℃為佳，這種現象表明
溫 .

度和其他兩因素間有交互作用。當因素間有交互作用時，用上述方法不一定能選到最好的工
藝條件。例如，例1 的試驗應當繼續按原來的方法做下去：

A＝90℃ 90 分 120 分 150 分

C＝6% 73% 78% 84%

發現工藝條件A＝90℃， B＝120 分，C＝6%為_______最優工藝條件且似乎已不能改進。如果我

們將27 個工藝組合進行全面試驗，發現當工藝條件為A＝90℃，B＝150 分，C＝7%時得
率可達82%，而這個工藝條件沒有為上面的試驗方法所發現。因此，多次單因素試驗法有
局限性。特別是，當因素的數目和水準數更多時，常常會得到錯誤的結論，不能達到預期的
目的。