擲筊裡的機率：連續擲出9次聖筊很稀奇嗎？

文：黃文璋

2013年2月25日，報紙上有一則標題為〈8歲貧戶女童　擲筊贏百萬〉的新聞。原來高雄市有一間廟宇舉辦擲筊比賽，經14天的初賽後，在元宵節那天，300多名參加決賽者中有一位連續擲出9次聖筊的女孩，獨占鰲頭。此項比賽，除了新台幣100萬元的頭獎之外，另有二獎50萬元、三獎30萬元，以及四獎2位各10萬元。在高額獎金的吸引下，前來試手氣者總共有1萬零200多人。

這個擲筊比賽的報名費每人300元，報名費收入至少有306萬元，而獎金總額為200萬元。廟宇舉辦這種活動，不但有盈餘，還能趁機帶來人潮，一舉兩得。另一方面，現今國內公益彩券的獎金支出，大抵不超過銷售總金額的60％；而200萬除以306萬，約為0.65。同樣是依靠隨機取勝，參加擲筊比賽，比買彩券略划得來些。但二者皆為不公正的賽局，因此最好淺嘗即止，不該太著迷，想藉此致富。

每逢過年期間，台灣各地廟宇，常有這類擲筊比賽的活動。擲筊是民間一種求神問卜的儀式，將兩片用木頭做成的半月形狀筊杯，投擲至地面後，若兩筊杯呈現一正一反，便稱得到「聖筊」，代表向神明祈求或請示的事情，獲得應允或認為可行。但不可一擲再擲，非得聖筊不罷休。同一件事情，若未獲得聖筊，必須等待一段時間之後，才能再度請示神明。這裡面有一些簡單的機率可以討論。

如同投擲2枚公正銅板，會得一正一反的機率為1/2。假設每個筊杯皆為公正，則每次投擲後，得聖筊之機率亦為1/2。沒得聖筊者，有些人可能就相信這是神明旨意，到此為止；有些人則以為神明在考驗他，過段時間再祈求一次。嘗試投擲第二次的人，約有一半能慶幸得了聖筊，而仍沒得聖筊者，有些便接受了。不接受者經誠心祈求，又約有半數的人會如願。

真想做的事，得經2次擲筊才得聖筊的機率為1/4。換句話說，不超過2次擲筊便如願的機率為1/2+1/4=3/4。以此類推，可得不超過3次擲筊便如願的機率為7/8。因此倒不見得是精誠所至，金石為開，而是只要持續，3次內便很容易如願。這便略能解釋何以長久以來，一直有人願意把對未來的決定權交給擲筊，而且相信心誠則靈。擲筊本可較簡單的以擲銅板來取代，但投擲那2片筊杯，似乎較具神秘的色彩。

最後來看那位贏得100萬元的女童，連續擲出9次聖筊很稀奇嗎？仍假設任何人每次投擲會得聖筊之機率為1/2。因此連得9次聖筊之機率為1/2的9次方，即1/512，而連得10個聖筊之機率為1/1024，......。故每位參賽者，擲出至少9次聖筊之機率為：1/512 + 1/1024 + ......。

此為一公比1/2的無窮等比級數，可算出和為首項的2倍，即1/2的8次方，為1/256。機率這麼小，因此對於任何一人，都不容易擲出9次以上的聖筊。只是不要忘記，參加決賽者有300多人，就以300人計，300×1/256約等於1.17，即平均能有一個人以上擲出至少9次聖筊。至於在1萬零200多位參加初賽者中，平均可有將近40位擲出至少9次聖筊。甚至在初賽時，若有人擲出14次聖筊也不足為奇。此因對任何一人，能擲出至少14次聖筊之機率為1/2的13次方，即1/8192，是相當難發生；但對1萬零200人，可算出其中會有人擲出如此多個聖筊，其機率超過7成。小機率事件本來不易發生，但若觀測次數夠多，則發生就非偶然了。

本文獲《科學人雜誌》、《科學人粉絲團》授權刊登，原文刊載於此

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