1+1=2的証明
1+1=2是人類定義出來的東西，就像我們說山是山，水是水一樣。
你要說1+1=3實際上也是ok的，只是在這樣的定義下，整個數系會有變化，這樣的系統和地球上六十億人所用的會有很大的出入。
數學家們為了為了讓1+1=2可以嚴謹化，用了下面兩個東西：Peano Axiom和Set Theorem。
首先，數學家把整個自然數系重新架構在Set Theorem之下，以此定義何為1，2，3...
再來，利用Peano Axiom來說明"+"的存在及其意義。
再利用Set Theorem的建構法則，說明1+1=2
但是證明1+1=2實在沒啥意義，因為他已經可以說是一個公理(Axiom)，
不管怎樣證明都只是拿數學上其他公理來說明這個公理是對的。

何謂「證明」？沒有公理假設及邏輯系統法則，就沒有所謂證明。現代數學家大部份都接受集合論為起點，其中有九大公理〔包括極有爭議性的選擇公理〕。
在上列式子中，出現了「1」「2」、「＋」、「＝」四個符號。
在回答你的問題前，必須先作一些數學系統上的假設，並且明確定義出以上四個符號的意義，才會導出結論，不然只是各說各的，每人談的都是自己的世界。
我們就從集合論的觀點去定義以上四個符號，請注意這四個符號並非最基本的符號，是需要定義出來的。
篇幅及精力所限〔我自己寫的回答，要自己打字的啊，可憐我吧〕，我只是粗略地說明一下，詳情請自行參讀一些集合論的書，很多都有談及自然數系統的建構過程。

集合論最基本的關係符號，事實上就是以邏輯關係來說明，有包含〔subset〕、交集〔intersection〕及聯集〔union〕。首先，是等號〔＝〕的定義，兩個集合 A 及 B，如果互相包含，我們就稱他們為相等，以 A = B 表示。

然後，我們開始定義空集合。然後開始建構自然數系統，方便起見，空集合就是稱為 0，令它為第一個自然數。然後以數學歸納法的方式定義所有自然數：假設已經定義好 n 了，把 n 這個集合視為 {n} 這個集合的一個元素，取 n 與 {n} 的聯集，稱為 n + 1。聰明的讀者，應該知道，這其實就是在以「包集合」的方式來數東西，因此，以上的例子中，1 是被定義為 0 與 {0} 的聯集，而 2 是被定義為 1 與 {1} 的聯集。而從這兒，我們也順便定義了什麼是數 n 次，可稱 1 為 0 的第一個後繼者，2 為 0 的第 2 個後繼者等等。

數學歸納法，事實上也定義了何謂「+」，令 m 及 n 為兩自然數，m + n 的意思就是 m 的第 n 個後繼者。

於是式子的問題其實是：1 的第一個後繼者是否為 2？答案當然是肯定的啦。

將時間推到幾千年前，一個不見數學蹤跡，一個人們不曉何謂算數記數的年代。一天，小明很高興地從湖邊補到一條魚，他高興地大喊：」晚上有一條魚可以吃了！」回到山洞的家中，看見爸爸也補了一條魚回來，他再度高興地大喊：」晚上有一條魚和一條魚可以吃了！」沒多久小明的弟弟回來，手邊也拿回一隻活蹦亂跳的魚兒，他又高興地大喊：」晚上有一條魚和一條魚和一條魚可以吃了！」中午，媽媽回來了，他大喊」待會兒有一條魚和一條魚和一條魚和一條魚可以吃了！」但小明有些不開心，他開始覺得這樣很笨。黃昏一刻，爺爺，奶奶，阿姨，小舅，叔叔，姑姑都回來山洞，也都各帶了一條魚回來，小明看見後就發瘋似地飛奔出去，他翹家了。

　　晚上小明想了很久，他決定把一條魚用一種符號代替，一條魚和一條魚用另一種符號代替．．．．．．，直到可以代替全家所有的魚為止。隔天他回到家，驕傲地跟大家說明他了不起的，出類拔萃的見解：我有一條魚，爸爸有一條魚，總共就有兩條魚。(也就是１＋１=２)

我們還要來看看１＋１=２這個式子，將它分解成左邊的１＋１與右邊的２這兩個部分，可以這麼假設，左邊發生在右邊之前，於是我們這麼說：小明的一條魚與爸爸的一條魚擺在一起，是兩條魚。這隱含了一個重要的意義：一條魚永遠是一條魚，不管是在水裡，天空中，甚至在爸爸的肚子裡(被分解而不是消失)。(註一)

　　但是挑戰來了，兩萬年後小明的後代，搭乘太空船來到天鵝座X-1星(註二)，並朝X-1的方向丟了一條魚，他一路觀察魚飛往X-1的軌跡， 在靠近X-1一定距離(註三)的某個瞬間，魚兒突然消失不見，非咀嚼後吞下肚子那樣被分解，而是徹頭徹尾地消失在X-1，這個人類最早發現的黑洞前。嚴謹一點的說法是，這條魚所對應的波函數的一部分，在進入黑洞後就不見蹤影，而完全無法進行觀測，導致下面一個結論，能區別這條魚之所以為魚的資訊，已經消失大半。相當於這條魚已經不再是一條魚了，而它究竟變成什麼，是在黑洞外的觀測者永遠無法知道的。(註四)

　　於是站在黑洞旁的我們，還能堅持１＋１=２嗎？
　　依舊不以為然？唔．．．也罷，讓我們先來瞧瞧１＋１是如何等同於３的。

　　有黑洞這樣不斷吸入物質的天體，相對地，我們也可以推論出一個不斷吐出物質的天體，由於有與黑洞相反的性質，故我們稱之為」白洞」。假設小明的後代有一天和女友去看電影，他們一人帶了一塊錢在身上，但兩張電影票總共要三塊錢，當他們倆雙手一攤時，發覺加起來竟有三塊錢，原因就在於旁邊的白洞吐了一塊錢給他們！當然運氣不好時，獲得的也有可能是一坨大便就是。　
終究這是個可笑的例子，但它所象徵的意義是不可言喻的。

　　又根據觀察數據指出，宇宙的肇始源自於大霹靂。我們可以這樣想像，在一百多億年以前的某個瞬間，整個宇宙從"無"急速膨脹，逐漸演化成現今的規模。這件事透露了什麼樣的訊息？

　　行文至此，勉力向諸位說明了為何１＋１=３，但我真正想說的不僅如此，而是想要揭示一個」沒有硬性規定，沒有強制束縛，沒有各式制限，一切都是可能的」的世界，這個世界就在我們四週，但很多人察覺不到，而更多人害怕改變。我所能做的，只是為諸位揭開這扇門，而是否願意走進這個世界並且接納它，就不在在下的能力範圍之內了。
　

註一：相當於亞里斯多德的同一律：在思考過程中，某物的意義是保持不變的
註二：天鵝座X-1為一雙星系統，主星為一超巨星，伴星為質量在太陽５～１０倍的黑洞，本文的天鵝座X-1專指其伴星。
註三：此距離為事件視界，或謂事象地平面。
註四：上述的」魚消失不見」事件，其實觀測者永遠無法見得，而會看見前往黑洞的物體行進速度愈來愈慢，直到停留在事件視界上。但為簡化敘述，我們假設觀測者能夠觀測此事件

由奇摩知識轉貼