十二平均律
◎沈政男

今天3月21日是音樂之父巴哈（1685-1750）的生日。巴哈的創作上千，但影響古典音樂最大的是《十二平均律前奏曲與賦格》這一套作品。這讓我想起，二十幾年前念台大醫學院的時候，曾到重慶南路的書局買了全音樂譜出版社發行的十二平均律鋼琴譜。我不會彈鋼琴，買琴譜只是要把音樂當成科學與心理學來研究。

在《十二平均律》裡，巴哈將八度音程裡的十二個音，每個音當成主音，分別用大小調兩種調性，以及前奏曲與賦格兩種形式，寫了十二乘以二再乘以二，共四十八首曲子的一套作品。

為什麼這麼有系統有組織？因為巴哈就是要以實作來證明，十二平均律這套在當時剛出現不久的律式，可以寫成美妙的音樂，而且各調之間可以輕易又和諧地轉換，沒有杆格。

十二平均律的理論，難以置信地在十六世紀的中國最先被發明，後來歐洲在十七世紀也出現了，但沒有音樂家大力採用，一直到巴哈出現才改變局面。不然在這之前是用什麼律式？五度相生律。

五度相生律從畢達哥拉斯時代就知道，據說他拿琴弦來做實驗，發現了弦的長度為整數比時，一起撥弄會產生和諧音。弦的長度加倍，音程剛好是八度，而長度變成3/2，音程則是五度。畢達哥拉斯就用五度為單位，一層層推導上去，超過八度就降下來，再升五度，依序得出了七聲音階。這就是所謂五度相生律。

五度相生律與自然泛音有密切關係。自然泛音指的是每個音都由一個基頻與其他成整數倍的音頻組合而成，這些基頻以外的音頻，就是泛音。第一泛音的頻率是基頻的兩倍，第二泛音則是三倍，重點來了，這兩者的比等於3/2，也就是五度相生律裡的完全五度。這樣的音階聽起來當然美妙無暇。

今天除了是巴哈的生日，也是法國數學家傅立葉（1768-1830）的生日，他的最大貢獻就是開創了傅立葉轉換，也就是所有在時間裡週期變動的函數，都能解析成各種頻率正弦波與餘弦波的組合，而上一段提到的泛音理論，就可由傅立葉轉換來證明。

五度相生律雖然完美，但會有轉調的問題，當主音變換，同樣的音階就無法適用，會產生不和諧音，就好像把一家的樓梯搬到另外一家無法適用一樣，於是十二平均律出現了。

十二平均律是把一對八度音，也就是高低頻率為兩倍的音程，平均分配成十二個半音。重點來了，怎麼平均分配？中國天才數學家朱載堉想出了將2連開十一次根號，連同原始數字共十二個數值，剛好構成了十二個平均分布的半音。當然歐洲數學家後來也想出了類似的算法。

重點來了，由十二平均律算出的五度音比例數字，1.4983，與五度相生律的完全五度，3/2，非常接近，人耳根本無法區辨，而且十二音階，因為美妙的數學結構，無論拿哪個音當主音，都可以形成幾乎一樣的音階結構，使得轉調變得簡單流暢又和諧。

巴哈寫了《十二平均律》以後，古典音樂進入了歷史新頁，後來的音樂家從中汲取養分，一步步開拓了更多的作曲可能，使得起源於德奧的音樂形式，逐漸主宰了近代的音樂世界。

巴哈不是數學家，但他寫出的曲子，如同數學方程式那麼工整，又那麼優美，這是音樂有趣之處。音樂與數學在人的耳朵裡變成了同一件事，為什麼？何以完全五度音剛好形成了3/2這樣的頻率倍數？

人的內耳傳音機制，本來就是一個小小樂器，外頭的大樂器震動空氣，形成聲波，傳到內耳，再由內耳震動神經產生電生理訊號，傳到腦中的聽覺中樞。只是聽覺中樞，為什麼會把3/2頻率倍數，聽成悅耳的和聲，就是有趣又深奧的問題了。

謹將此文獻給巴哈。